Lo studio degli interi e delle loro proprietà è l’oggetto fondamentale della Teoria dei Numeri. Le proprietà dei numeri primi e dei divisori di un numero intero sono state oggetto di riflessioni fin dal periodo dell’antica Grecia (Pitagora, Euclide, ecc.); lo studio è ripreso nel secolo XVII in particolare con i contributi di Fermat, e poi è proseguito nei periodi successivi.
È opportuno introdurre alcune definizioni, sui vari tipi di insiemi che vengono studiati nella Teoria dei Numeri.
L’insieme \(\mathbb{P}\) dei numeri primi, cioè \(\mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,13,17,…..\}\).
L’insieme \(\mathbb{Z}\) degli interi, cioè \(\mathbb{Z}=\{…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…\}\).
L’insieme degli interi positivi, o numeri naturali, indicato con \(\mathbb{N}\), cioè \(\mathbb{N}=\{1,2,3,4,…\}\).
L’insieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\), definito come \(\mathbb{Q} = \{\frac {a} {b}; a,b\in Z;b \ne 0\}\).
L’insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\), che comprende i razionali e gli irrazionali; questi ultimi possono essere visti come limiti di successioni di razionali.
L’insieme dei numeri complessi \(\mathbb{C}\); ogni numero complesso è una copia di numeri reali.
Un numero primo è un intero maggiore di 1 che è divisibile solo da 1 e da se stesso. Un numero intero che non è primo si dice composto.
I numeri primi sono i mattoni dei numeri interi, grazie al teorema fondamentale dell’aritmetica, il quale afferma che ogni intero positivo può essere espresso in modo unico come prodotto di potenze di numeri primi. Per determinare la fattorizzazione di un intero positivo \(n\) si può utilizzare la funzione n.factor() nell’ambiente SageMathCell. Ad esempio 588.factor() da come risultato \(2^2 \cdot 3 \cdot7^2\).
1) Le funzioni aritmetiche
Una funzione aritmetica è una funzione \(f\) che ad ogni numero naturale assegna un numero reale o complesso. In simboli
\[ f\colon N \to C,\quad n \mapsto f(n) . \]Una funzione aritmetica \(f\) si dice moltiplicativa se risulta \(f(ab)=f(a)f(b)\), per tutte le coppie \(a,b\in\mathbb{N}\) tali che \((a,b)=1\). (Il simbolo (a,b) rappresenta il massimo comune divisore dei due numeri)
Una funzione aritmetica \(f\) si dice completamente moltiplicativa se risulta \(f(ab)=f(a)f(b)\) per tutte le coppie in interi positivi \(a,b\).
Teorema 1
Data una funzione moltiplicativa \(f\). Se \(n=\prod_{k=1}^sp_k^{a_k}\) allora \(f(n)=\prod_{k=1}^sf(p_k^{a_k})\).
Questa proprietà segue direttamente dalla definizione.
Teorema 2
Se \(f\) è una funzione moltiplicativa, allora anche la seguente funzione:
è moltiplicativa.
Per una dimostrazione vedi [1].
2) Il numero dei divisori di un intero
Come primo esempio di funzione aritmetica, introduciamo la funzione \(d(n)\), il cui valore è dato dal numero dei divisori di \(n\).
Se \(n\) è un numero primo allora \(d(n)=2\), in quanto gli unici divisori sono \(1\) e \(n\) stesso. Per un numero composto la funzione \(d(n)\) viene calcolata facilmente a partire dalla fattorizzazione in fattori primi.
Ad esempio se \(n=p^{k}\) allora i divisori sono \(1,p,..p^{k-1}, p^{k}\) e quindi \(d(p^{k})=k+1\).
Se \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\) allora i divisori sono tutti i numeri del tipo \(p_1^{b_1}p_2^{b_2}\) , dove \(0 \le b_1 \le a_1\) e \(0 \le b_2 \le a_2\). Quindi il numero totale dei divisori è dato dal prodotto \((a_1 + 1)(a_2 + 1)\).
In generale se \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_s^{a_s}\) allora abbiamo \(d(n)=\prod_{i=1}^{s}(a_i+1)\).
Questo risultato si poteva ottenere osservando che \(d(n)=\sum_{d\mid n}1\), la funzione \(f(n)=1\) è moltiplicativa e quindi per il Teorema 2 anche la funzione \(d(n)\) è moltiplicativa.
Per determinare la lista dei divisori di un numero \(n\) utilizzare la funzione n.divisors() nell’ambiente SageMathCell. Ad esempio 999.divisors() da come risultato la lista \([1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999]\).
Esercizio
Fissato un intero m, trovare tutti gli interi n per i quali \(d(n) = m\).
Suggerimento: Regola di John Wallis (1685) – Trovare tutte le fattorizzazioni possibili di \(m\); se i fattori sono a,b,.. allora il numero richiesto è \(p^{a-1} q^{b-1}..\) dove p,q,.. sono numeri primi distinti a piacere.
Come esempio determinare i numeri naturali \(n\) tali che \(d(n)=10\).
Esercizio
Dimostrare che, dato \(n >1\), la successione dei seguenti numeri da un certo punto in poi assume il valore costante 2.
Il punto può essere spostato in avanti a piacere, utilizzando \(2^{n-1}\) come valore iniziale.
3) Il prodotto dei divisori di un intero
Per calcolare il prodotto di tutti i divisori di \(n\), basta osservare che i divisori possono essere raggruppati in coppie: per ogni divisore \(d\), abbiamo l’unico divisore complementare \( d{_2} = \frac{n}{d}\), in quanto \(n = d d{_2}\). Se \(d\) varia su tutti i possibili divisori di \(n\), allora è ovvio che anche \(d{_2}\) assume lo stesso insieme di valori. Mettendo insieme si trova:
\[ \prod_{d \mid n} d = \prod_{{d_2}\mid n}d_{2} \] \[ n^{d(n)} = (\prod_{d\mid n}d) (\prod_{d_{2} \mid n} d_{2})=(\prod_{d\mid n}d)^2 =\prod_{d\mid n}d^2 \]Quindi abbiamo il seguente risultato:
Teorema 3
Il prodotto dei divisori di un intero \(n\) è \( \prod_{d\mid n}d = n^\frac {d(n)}{2} \)
4) La somma dei divisori di un intero
La somma dei divisori di un intero viene indicata con \(\sigma (n) =\sum_{d\mid n}d\). Le proprietà di questa funzione sono state studiate da Pitagora e poi nel XVII secolo da Cartesio, Wallis, Fermat.
Ad esempio \(\sigma (12) = 28\). Notiamo che \(\sigma (4) = 7\) e \(\sigma(3)=4\). Quindi \(\sigma(12) = \sigma(4) \cdot \sigma(3)\). Questo è un risultato generale in quanto la funzione \(\sigma (n)\) è moltiplicativa. Per dimostrarlo basta utilizzare il teorema 2 con la funzione \(f(n)=n\). Il valore della \(\sigma(n)\) è quindi completamente determinato se conosciamo i valori sulle potenze dei primi.
Se \(p\) è un numero primo e \(a\) è in intero positivo, si ha ovviamente:
essendo la somma di una progressione geometrica.
In generale se \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_s^{a_s}\) abbiamo
Esempio
\(\sigma(300)=\sigma((2^2(3)(5^2))=\frac{2^3-1}{2-1} \frac{3^2-1}{3-1}\frac{5^3-1}{5-1}=868.\)
Per effettuare una verifica dei calcoli digitare sum(divisors(300)) nell’ambiente SageMathCell.
Esercizio
Dimostrare che non esiste alcun numero naturale \(n\) tale che \(\sigma(n)=5\).
Teorema 4
Esistono infiniti numeri naturali \(m\) per i quali l’equazione \(\sigma(n)=m\) non ha soluzione.
Per una dimostrazione vedi [2].
Esercizio
Dimostrare che se σ(n) è primo, allora anche d(n) è primo. Verificare se è vero il viceversa?
Dimostrazione
È ovvio che la fattorizzazione di n deve essere \(n=p^{a}\) in quanto la funzione \(\sigma (n)\) è moltiplicativa. Quindi \(\sigma (n) = 1 + p + …p^{a}= \frac {p^{a+1} – 1}{p-1}=q\) dove q è primo. L’esponente a deve essere pari e \(a+1\) deve essere primo, altrimenti q non sarebbe primo. Quindi anche \(d(n)= a+1\) è primo.
Chiaramente l’inverso non è vero; ad esempio \(d(49)=3\), mentre \(\sigma (49) = 1+7+49 = 57 = 19 \cdot 3\).
Esercizio
Determinare per quali interi n vale la relazione \(\sigma (n) = m^2\).
Un metodo empirico è il seguente: poniamo \(n=p\cdot m\) dove p è un numero primo e \( (p,m)=1\). Affinché risulti \( \sigma (pm)= (p+1)\sigma(m)= t^{2}\), deve essere \( p= \frac {t^{2} – \sigma(m)}{\sigma(m)}\). Ad esempio se \(t=12\) e \(\sigma(m)=3\) abbiamo \( p = 47\); poiché \(\sigma(2) = 3\), risulta \( \sigma (47 \cdot 2)= 48 \cdot 3 = 144 = 12^{2}\).
Si può dimostrare il seguente teorema generale.
Teorema 5
Esistono infiniti numeri \(n\) tali che \(\sigma(n) = m^2\) .
Per una dimostrazione vedere [3].
5) Le funzioni additive \(\omega(n)\) e \(\Omega(n)\)
Ricordiamo che una funzione aritmetica si dice completamente additiva se \( f(nm)=f(n)+ f(m)\) per ogni coppia di interi \(n,m \in \mathbb{N}\). Se la relazione vale solo per le coppie di numeri primi fra loro, cioè \((n,m)=1\) alla la funzione di dice additiva.
La funzione \( \log(n) \) è una funzione completamente additiva, in quanto come è noto \( \log(nm) = \log(n) + \log(m)\).
Un esempio di funzione aritmetica additiva è la funzione \(\omega (n)\) definita come il numero dei numeri primi distinti divisori di n.
Un altro esempio di funzione completamente additiva è dato dalla funzione \(\Omega (n)\) definita come il numero delle potenze di numeri primi divisori di n. In simboli, se \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_s^{a_s}\) allora \( \omega (n) = s \) e \(\Omega (n) = a_1 + a_2 +.. a_s\)
Chiaramente per una funzione additiva \(f(n)\) deve essere \( f(1) = 0\).
6) I numeri perfetti
Un intero positivo \(n\) si dice perfetto se risulta \(\sigma(n)=2n\), cioè se la somma di tutti i divisori (compreso \(n\)) è uguale al doppio del numero stesso. Si dice difettivo se \(\sigma (n) < 2n\) e abbondante se \(\sigma (n) > 2n\). Esempi di numeri perfetti, già notati da Pitagora, sono i numeri 6 e 28. La determinazione dei numeri perfetti si basa sul seguente:
Teorema 6
Un intero positivo pari \(n\) è perfetto se e solo se risulta
dove \(k\) è un intero tale che \(k\geq 1\) e \(2^{k+1} -1\) è primo. I numeri del tipo n \(n=2^{k}(2^{k+1}-1)\) si chiamano numeri di Euclide.
Per una dimostrazione completa vedi [4].
Verifichiamo solo che la condizione è sufficiente; in primo luogo si ha:
Notiamo che \(\sigma(2^{k})=(2^{k+1}-1)\) e poiché \( 2^{k+1}-1\) è primo per ipotesi abbiamo \(\sigma(2^{k+1}-1)=2^{k+1}\). Quindi \(\sigma(n)= (2^{k+1}-1)2^{k+1}= 2n\).
Esercizio
Dimostrare che ogni numero perfetto pari termina con la cifra 6 oppure 8.
Suggerimento: nella formula \(n=(2^{k})(2^{k+1}-1)\) il numero \(p=k+1\) deve essere primo (vedi teorema nel paragrafo relativo ai numeri di Mersenne). Quindi distinguere i casi p=2, p=4m+1, p=4m+3 .
Allo stato attuale non si conoscono numeri perfetti dispari. Tuttavia se esistono devono essere molto grandi. Nel 1888 Catalan dimostrò che se esiste un numero perfetto dispari senza i fattori 3,5,7, allora deve avere almeno 26 fattori primi. Nel 1953 Touchard dimostrò che un numero perfetto dispari deve essere della forma \(12k + 1\) oppure \(36k + 9\). I moderni computers hanno permesso di escludere l’esistenza di numeri perfetti dispari con meno di 300 cifre, cioè inferiori a \(10^{300}\).
7) I numeri amici
Possiamo anche definire la funzione \(s(n) = \sigma(n) – n\), cioè \(s(n)\) è la somma dei divisori propri di \(n\). Il matematico greco Pitagora fu tra i primi ad osservare che \(s(220) = 284, s(284) = 220\).
Due numeri \(n,m\) si dicono amici (amicable in inglese)) se risulta \(s(n) = m, s(m) = n\).
Esercizio
Dimostrare che per due numeri amici risulta \(\sigma(n) = \sigma(m)\).
Nonostante siano stati trovati molte coppie di numeri amici, resta aperto il problema di stabilire se ne esista un numero infinito. Per lo stato dell’arte sui numeri amici vedere il sito Amicable Numbers.
8) I numeri di Mersenne
Lo studio dei numeri perfetti porta alla definizione dei cosiddetti numeri di Mersenne (La Soultière, Maine, 1588 – Parigi 1648).
Dato un intero positivo \(k\), si chiama numero di Mersenne il numero \(M_{k}=2^{k}-1\). Se \(M_{k}\) è primo, allora \(M_{k}\) viene chiamato il \(k\)-esimo numero di Mersenne.
Esempio
\(M_3=2^3-1=7\) è il terzo numero primo di Mersenne.
Una condizione necessaria affinché \(M_{k}\) sia primo è data dal seguente teorema.
Teorema 7
Se \(M_{k}=2^{k}-1\) è un numero primo, allora \(k\) è primo.
Per la dimostrazione utilizzare al seguente identità: se \(m=rs\), allora
Non è vero il viceversa. Ad esempio \(M_{11}=2^{11}-1=2047=23 \cdot 89\).
Mersenne fece la congettura che \(M_{n}\) è primo per i seguenti valori di \(n= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127,257\), ed è invece composto per tutti gli altri interi \(n \le 257\). La congettura risultò errata; la lista esatta dei primi numeri di Mersenne è infatti la seguente:
Il più grande numero primo di Mersenne conosciuto al 2017 è \(2^{77,232,917} – 1\), un numero enorme di 23.249.425 cifre. Vedere il sito GIMPS.
Il seguente teorema aiuta nella ricerca di eventuali divisori primi di un numero di Mersenne.
Teorema 8
I numeri primi \(q\) divisori del numero \(M_p=2^p-1\), con \(p \in \mathbb{P}\), sono della forma \(q=kp+1\), dove \( k \in \mathbb{N}\).
Per una dimostrazione vedere [5].
Esercizio
Utilizzare il teorema precedente per dimostrare che \(M_{11}\) e \(M_{23}\) non sono primi.
Suggerimento: provare i divisori potenziali fino al valore \(\sqrt(M_{n})\).
È ancora da dimostrare la congettura che esistano infiniti numeri primi di Mersenne.
9) I numeri di Fermat
Un altro insieme di numeri molto studiato è dato da quelli della \(X_{n}=2^{n}+1\).
Esercizio
Dimostrare che affinché il numero \(X_{n}\) sia primo, è necessario che \(n\) non contenga divisori dispari.
Suggerimento: ricordare il prodotto notevole (valido se b è dispari) \(2^{ab}+1=(2^{a}+1)(2^{a(b-1)} – 2^{a(b-2)} + \cdots +1)\).
Nella ricerca dei possibili numeri primi si può quindi porre \(n=2^{k}\). Gli interi \(F\) della forma \(F_n=2^{2^n}+1\) sono chiamati numeri di Fermat (Pierre Fermat, 1607-1665). Effettuando il calcolo Fermat trovò i seguenti valori: \(F_0=3\), \(F_1=5\), \(F_2=17\), \(F_3=257\) e \(F_4=65,537\), cioè i primi 5 sono numeri primi. Questo indusse Fermat ad ipotizzare che tutti i numeri di Fermat fossero primi. Tuttavia Eulero riusci a calcolare \(F_5\) dimostrando che è composto:
\[ F_{5} = 4294967296+1=4294967297=641 \cdot 6700417 \]La congettura di Fermat risultò quindi sbagliata. In realtà tutti i numeri di Fermat con \(n < 31\) risultano composti. Il calcolo d \(F_{5}\) è alquanto complesso, non disponendo di computers. Tuttavia Eulero riuscì a calcolarlo grazie alla seguente proprietà da lui stesso dimostrata.
Teorema 9
Ogni divisore di un numero di fermat \(F_{n}\) con \(n >2\) ha la forma \(k2^{n+1}+1\), con \(k \in \mathbb{N}\). Nel caso \(n=5\) quindi i fattori primi hanno la forma \(p=64k+1\) (per una dimostrazione vedere [6]).
Con pochi calcoli si trovano i numeri primi 193,257,449,577 e 641, il quale ultimo risulta essere divisore di \(F_{5}\).
Allo stato attuale sono stati fattorizzati i primi 12 numeri di Fermat. Due problemi fondamentali non risolti sono i seguenti:
- esistono infiniti numeri di Fermat primi?
- esistono infiniti numeri di Fermat composti?
L’opinione prevalente è che esistano solo un numero finito di numeri di Fermat primi.
Teorema 10
Per ogni intero positivo \(n\), abbiamo
Il teorema si dimostra facilmente per induzione.
Grazie al teorema precedente possiamo dimostrare la seguente proprietà dei numeri di Fermat:
Teorema 11
Siano \(r \neq s\) due interi non negativi. Allora risulta \((F_r,F_s)=1\).
Supponiamo \(r<s\). Allora \(F_0F_1F_2…F_r…F_{s-1}=F_s-2\).
Se per assurdo esistesse un divisore comune \(d\) of \(F_r\) and \(F_s\), allora \(d\) dovrebbe dividere anche \(F_s-F_0F_1F_2…F_s…F_{s-1}=2\), da cui risulta che i valori possibili sono \(d=1\) oppure \(d=2\). Ma \(F_s\) è sempre dispari e quindi \(d=1\).
Grazie al teorema precedente è possibile dare un’ulteriore dimostrazione del fatto che esistono infiniti numeri primi (la prima dimostrazione venne data da Euclide negli Elementi).
Teorema 12 (Goldbach)
Esistono infiniti numeri primi.
Ogni numero di Fermat \(F_{n}\) ha almeno un fattore primo \(p_{n}\). Questi sono tutti diversi e quindi devono esser infiniti, dato che gli \(F_{n}\) sono infiniti.
Esercizio
Utilizzando il teorema precedente dimostrare la seguente stima per la funzione \(\pi(X)\), che rappresenta il numero dei primi \(\le X\):
I numeri di Fermat hanno un ruolo importante nella soluzione di un problema geometrico che aveva interessato i matematici fin dall’antichità: è possibile costruire un poligono regolare utilizzando soltanto riga e compasso? Il risultato fondamentale dimostrato da Gauss è il seguente.
Teorema 13 (Gauss)
Un poligono regolare di \(n\) lati è costruibile con riga e compasso se e solo se risulta:
dove \(t,s\) sono interi non negativi e \(p_{1},…p_{s}\) sono numeri primi di Fermat. Per una dimostrazione completa vedi [7].
10) Relazione con l’ipotesi di Riemann
La funzione zeta di Riemann \(\zeta(s)\) è una funzione analitica che ha un ruolo fondamentale nella Teoria dei Numeri. Una definizione è la seguente: \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), dove \( s = \sigma + it\), con \(\sigma, t \in \mathbb{R}\) e \(i\) è l’unità immaginaria tale che \(i^{2}=-1\). La serie converge se \(\sigma >1\). L’estensione a tutto il piano complesso definisce una funziona analitica in tutto il piano, ad esclusione del punto \(s=1\), nel quale la funzione ha un polo e diventa di modulo infinito.
Il legame della funzione zeta con i numeri primi è dato dalla seguente formula di Eulero:
dove \(\{p_n\}\) è la successione dei numeri primi.
Per una dimostrazione vedi [8].
Esercizio
Utilizzare la formula prodotto di Eulero per dimostrare che esistono infiniti primi.
Suggerimento: ricordare che la serie armonica \(\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{k})\) è divergente.
L’ipotesi di Riemann afferma che ad esclusione degli zeri banali \(s \in \{-2,-4, -6, ecc.\}\) tutti gli altri zeri della funzione zeta si trovano nella retta \(\sigma =\frac{1}{2}\).
Definiamo ora la funzione
dove \( \gamma\) è la costante di Eulero, un numero irrazionale il cui valore approssimato è \(\gamma \approx 0,57721\). Si può dimostrare il seguente inaspettato risultato.
Teorema (Robin, 1984)
L’ipotesi di Riemann è vera se e solo se vale \( f(n) < 1\) per tutti gli \(n \ge 5041\).
Per una dimostrazione vedi il criterio di Robin.
L’ipotesi di Riemann non è stata ancora dimostrata, nonostante gli sforzi dei migliori matematici di tutto il mondo. Nel 1914 il matematico inglese Hardy ha dimostrato che esistono infiniti zeri sulla retta critica \(\sigma = \frac{1}{2}\). Nel 1974 Levinson ha dimostrato che più di \(\frac {1}{3}\) degli zeri si trovano sulla retta critica \(\sigma = \frac{1}{2}\).
Nonostante questi risultati incoraggianti, la possibilità di dimostrare l’ipotesi di Riemann sembra ancora molto remota.
Bibliografia
[1]Niven, Zuckerman, Montgomery – An introduction to the Theory of Numbers, V edition (Wiley, 1991), pag. 190
[2]Sierpinski – Elementary Theory of Numbers (North-Holland Mathematical Library, 1988)
[3]The American Mathematical Monthly, Vol. 119, No. 5 (May 2012), pp. 373-380
[4]Hardy, Wright – An introduction to the Theory of Numbers, V edition (Oxford, 1979), pag. 239,240
[5]Everest – An introduction to Number Theory (Springer GTM, 2005), pag. 25
[6]Everest – An introduction to Number Theory (Springer GTM, 2005), pag. 30
[7]Stewart – Galois Theory, II edition (Chapmann & Hall, 1989; Oxford, 1979), pag. 169
[8]Niven, Zuckerman, Montgomery – An introduction to the Theory of Numbers, V edition (Wiley, 1991), pag. 381
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