Problema
Ci sono quattro persone A,B,C,D. Una scatola con dentro una pallina rossa viene data ad A, il quale può lasciare le cose invariate con probabilità \(p\), oppure sostituire la pallina rossa con una bianca con probabilità \(q=1-p\). La scatola viene passata a B il quale può lasciare la scatola invariata con probabilità \(p\), oppure cambiare il colore della pallina da rosso a bianco o viceversa. Poi è il turno di C e quindi di D, con le stesse modalità e probabilità.
Alla fine si controlla la scatola nella quale risulta presente una pallina rossa. Quale è la probabilità che in origine A abbia lasciato la pallina rossa?
Si possono dare altre formulazioni equivalenti del problema. Ad esempio questa: ci sono quattro persone A,B,C,D che dicono la verità con probabilità \(p\). Inizialmente A fa un’affermazione; quindi D dice che C dice che B dice che A ha detto la verità. Calcolare la probabilità che A abbia detto la verità.
Per la soluzione di questo esercizio è necessario conoscere alcuni concetti elementari di Calcolo delle Probabilità. Per una introduzione al Calcolo delle Probabilità con numerosi esercizi svolti vedere ad esempio [1].
Soluzione
Definiamo i seguenti eventi:
- X: A ha lasciato la pallina rossa nella scatola
- Y: alla fine nella scatola c’è una pallina rossa
- XY: evento intersezione, è vero se X e Y sono entrambi veri
Si deve calcolare la seguente probabilità condizionata:
\[ P(X|Y)= \frac {P(XY)}{P(Y)} \]dove il simbolo \(P(X|Y)\) indica la probabilità che X sia vero, dato che si è verificato Y.
1) Calcolo P(Y)
Ci deve essere stato un numero pari di cambiamenti di colore, visto che la pallina era inizialmente rossa. Sono possibili 3 casi con le seguenti probabilità:
- 0 cambiamenti \(p_{1}= p^4\)
- 2 cambiamenti \(p_{2}= {\binom{4}{2}}p^2q^2\)
- 4 cambiamenti \(p_{3}= q^4\)
Quindi \( P(Y) = p_{1} + p_{2} + p_{3}=p^4 + {\binom{4}{2}}p^2q^2 + q^4\) .
2) Calcolo P(XY)
Anche in questo caso ci deve essere stato un numero pari di cambiamenti di colore. Tuttavia A non ha fatto cambiamenti se è vero X. Quindi abbiamo solo questi casi, con le seguenti probabilità:
- 0 cambiamenti \( p_{1}= p^4\)
- 2 cambiamenti \( p_{2}= {\binom{3}{2}}p^2q^2\)
Quindi \( P(XY) = p_{1} + p_{2}= p^4 + {\binom{3}{2}}p^2q^2\) .
Mettendo insieme i due risultati abbiamo infine:
\[ P(X|Y)= \frac {P(XY)}{P(Y)} = \frac {p^4 + {\binom{3}{2}}p^2q^2}{p^4 + {\binom{4}{2}}p^2q^2 + q^4} \]Ad esempio, nel caso \(p=\frac{1}{3}\) la probabilità cercata è \(P(X|Y)= \frac{13}{41}\).
Nel caso \(p=\frac{1}{2}\) la probabilità cercata è \(P(X|Y)= \frac{1}{2}\), come era da aspettarsi per motivi di simmetria.
Bibliografia
[1]Murray Spiegel – Probabilità e Statistica (McGraw-Hill)
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