Sono ovvie le seguenti equazioni di ricorrenza:
\[
\begin{split}
a(n,1) &= a(n-1,2) \\
a(n,2) &= a(n-1,1) + a(n-1,3) \\
a(n,3) &= a(n-1,2) + a(n-1,4) \\
a(n,4) &= a(n-1,3) + a(n-1,5) \\
a(n,5) &= a(n-1,4)
\end{split}
\]
Ovviamente si ha \(a(n)=a(n,1) + a(n,2) + a(n,3) + a(n,4) + a(n,5)\).
Possiamo notare che per risolvere il problema basta riuscire a calcolare il valore \(a(n,1)\), per ogni n. Infatti gli altri valori sono:
\[
\begin{split}
a(n,5) &= a(n,1) \\
a(n,3) &= a(n,1) + a(n,5) \\
a(n,2) &= a(n-1,1) + a(n-1,3) \\
a(n,4) &= a(n,2)
\end{split}
\]
Per calcolare il valore di \(a(n,1)\) osserviamo che valgono anche le seguenti relazioni:
\[
\begin{split}
a(n,3) &= 2 \cdot a(n,1) \text{ per simmetria }\\
a(n,1) &= a(n-1,2) \\
a(n,1) &= a(n-2,1) + a(n-2,3)= 3 \cdot a(n-2,1)
\end{split}
\]
Per semplicità indichiamo con \(x_{n}=a(n,1)\). Possiamo quindi scrivere la seguente equazione di ricorrenza:
\[
x_{n} – 3 x_{n-2}=0
\]
Si tratta di una equazione alle differenze finite lineare del secondo ordine. Per i metodi di soluzione delle ricorrenze si può vedere ad esempio [1] (link Amazon).
Per risolverla dobbiamo trovare le soluzione dell’equazione caratteristica: \( \lambda ^{2} – 3 = 0\). Svolgendo i calcoli si trova:
\[
x_{n} = A \cdot (\sqrt{3})^{n} +B \cdot (-1)^{n} (\sqrt{3})^{n}= A \cdot 3^{\frac {n}{2}} +B \cdot (-1)^{n} 3^{\frac {n}{2}}
\]
dove \(A,B\) sono due costanti da determinarsi con le condizioni iniziali
\[
x_{2}=a(2,1)=1 \quad e \quad x_{3}=a(3,1)=2
\]
Completando i calcoli un po’ laboriosi otteniamo si seguenti valori per le costanti:
\[
\begin{split}
A = \frac {3^{\frac {3}{2}} + 6}{6 \cdot 3^{\frac {3}{2}}} \\
B = \frac {3^{\frac {1}{2}} -2}{2 \cdot 3^{\frac {3}{2}}}
\end{split}
\]
Conviene esprimere la soluzione finale distinguendo i casi \(n\) pari e \(n\) dispari. Sostituendo i valori trovati di \(A,B\) otteniamo le seguenti soluzioni:
\[
\begin{split}
x_{n} &= 3^{k-1} \quad (n=2k) \\
x_{n} &= 2 \cdot 3^{k-1} \quad (n=2k+1, \quad n>1)
\end{split}
\]
Una volta calcolata l’espressione generale per \(x_{n}=a(n,1)\), possiamo calcolare \(a(n)\) con la formula
\[
a(n)=a(n,1) + a(n,2) + a(n,3) + a(n,4) + a(n,5)
\]
e le relazioni descritte in precedenza.
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