Le Frazioni Continue e l’Approssimazione dei Numeri Reali

Le frazioni continue sono uno strumento molto efficiente per calcolare la migliore approssimazione di un numero reale tramite numeri razionali. Sono utilizzate in molti settori della Matematica: teoria dei numeri, analisi complessa, sistemi dinamici. Sono utili anche per studiare i problemi meccanici in cui sono presenti movimenti con periodi diversi. Problemi tipici sono lo studio degli ingranaggi delle macchine, la teoria musicale, ecc.

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1) Le frazioni continue

Una frazione continua generalizzata è un’espressione di questo tipo:

\[ \displaystyle a_0+\dfrac{b_1}{a_1 +\dfrac{b_2}{a_2 +\dfrac{b_3}{a_3+\dfrac{b_{4}}{\cdots}}}} \]

dove in generale i valori \( a_{i},b_{i} \) possono essere numeri reali o complessi. Per le frazioni continue generalizzate si usa la notazione introdotta da William Herschel (1792-1861):

\[ \displaystyle a_{0}+ \dfrac{b_{1}}{a_{1}+} \dfrac{b_{2}}{a_{2}+}\dfrac{b_{3}}{a_{3}+} {\cdots}= a_{0}+\dfrac{b_{1}}{a_{1} +\dfrac{b_{2}}{a_{2} +\dfrac{b_{3}}{a_{3}+\dfrac{b_{4}}{\cdots}}}} \]

I primi studi sulle proprietà delle frazioni continue sono dovuti al matematico bolognese Raffaele Bombelli (1526 – 1572). Bombelli scrisse un’opera importante intitolata Algebra, che ha avuto una grande importanza per lo sviluppo della matematica. Nel suo trattato è presente un risultato sulle frazioni continue che con la notazione moderna possiamo scrivere nel modo seguente:

\[ \sqrt{13} =3+\frac{4}{6+} \frac{4}{6+} \cdots \]

Ricordiamo che nel suo trattato introduce per la prima volta i numeri immaginari. Bombelli chiama il numero immaginario \(i\) “più di meno”, usa il termine “meno di meno” per indicare l’opposto \(-i\) e fissa le regole per le operazioni di moltiplicazione.
Le seguente rappresentazione del numero \(\pi\) è dovuta ad Eulero:

\[ \pi=3+\frac{1^2}{6+} \frac{3^2}{6+}\frac{5^2}{6+}\frac{7^2}{6+}\cdots \]

Un’altra famosa frazione continua generalizzata è la seguente, dovuta a Lord Brouncker (1620 – 1684):

\[ \frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2+} \frac{3^2}{2+}\frac{5^2}{2+}\frac{7^2}{2+}\cdots \]

Lord Brouncker ricavò questa espressione a partire dal prodotto infinito del numero \(\pi\) trovato da Wallis (1616-1703):

\( \displaystyle \frac{\pi}{2}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6} {1\cdot 3 \cdot 3\cdot 5 \cdot 5\cdot 7}\cdots = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^{2}}{4n^{2}-1} \\ \)

1.1) Frazioni continue semplici

Una frazione continua si dice semplice se tutti i numeri \(b_{i} \) sono uguali a \(1\), i numeri \(a_{i}\) con \(i >0 \) sono interi positivi, e \( a_{0} \) è un intero che può essere positivo, negativo o nullo. Una frazione continua semplice può essere finita o infinita.
In questo articolo, tranne se specificato diversamente, studieremo esclusivamente le frazioni continue semplici. Per le frazioni continue semplici finite usiamo la seguente notazione:

\[ [a_0; a_1,a_2, \ldots, a_n] = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{\displaystyle 1} {\displaystyle a_2+ \ldots \genfrac{}{}{0cm}{0}{}{+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a_n}} }} \]

Per le frazioni continue continue semplici infinite usiamo la seguente notazione:

\[ [a_0; a_1,a_2, \ldots] = a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a_2+ \ldots}} \]

Esercizio 1.1
Dimostrare le seguenti relazioni:

\[ \begin{array}{l} [a_{0};a_{1}, \cdots a_{n}]=[a_{0};a_{1}, \cdots, a_{n-1}+ \dfrac{1}{a_{n}}]\\ [a_{0};a_{1}, \cdots a_{n}]=[a_{0};a_{1}, \cdots a_{k-1},[a_{k},a_{k+1}, \cdots, a_{n}]] \\ [a_{0};a_{1}, \cdots a_{n}]=a_{0}+ \dfrac{1}{[a_{1};a_{2}, \cdots, a_{n}]} \\ \end{array} \]

dove \(1 \le k \le n\).

Esercizio 1.2
Calcolare i valori delle seguenti frazioni continue:

\[ \begin{array}{l} [2;1,4,1] \\ [2;1,4,2] \\ [2;1,4,n] \\ \end{array} \]

1.2) Calcolo della frazione continua per un numero reale

Vediamo come funziona l’algoritmo per ottenere la frazione continua semplice di un numero reale \(x\). Ogni numero reale \(x\) può essere scomposto come somma della parte intera e della parte frazionaria:

\[ x = \lfloor{x}\rfloor + \{x\} \]

dove \( \lfloor{x}\rfloor\) è la parte intera di \(x\), cioè il più grande intero che è minore od uguale a \(x\), mentre \(0 \le \{x\}<1\) è la parte frazionaria. Se \(x\) non è un intero allora \(\{x\} \ne 0\) e quindi possiamo definire \( x_{1}= \dfrac{1}{\{x\}}\) ottenendo

\[ \displaystyle x = \lfloor{x}\rfloor + \frac{1}{x_{1}} \]

Di nuovo se \(x_{1}\) non è un intero possiamo definire \(x_{2}=\dfrac{1}{\{x_{1}\}}\) ottenendo:

\[ x = \lfloor{x}\rfloor + \frac{1}{ \lfloor{x_{1}}\rfloor + \dfrac{1}{x_{2}}} \]

Questo processo si arresta solo se \({x_{i}}=0\) per qualche indice i, altrimenti continua all’infinito. Ponendo \( a_{0}=\lfloor{x}\rfloor\) e \(a_{i}=\lfloor{x_{i}}\rfloor \) per \(i \ge 1\), possiamo rappresentare il numero reale \(x\) in questo modo:

\[ x = a_{0} + \cfrac{1}{a_{1} + \cfrac{1}{a_{2} +\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}} \]

Esempio 1.1

\[ \displaystyle [-1;1,3,5] = -1 + \frac{1}{\left(1+\frac{1}{3+\frac{1}{5}}\right)} = -1+ \frac{1}{(1+\frac{5}{16})} = \\ -1+\frac{16}{21} = – \frac {5}{21} \]

Esempio 1.2

\[ \frac{15}{11}= 1 + \frac{4}{11}= 1+ \frac{1}{\dfrac{11}{4}} = 1 + \frac{1}{2+\dfrac{3}{4}} = \\ 1 + \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}}= 1 + \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3}}}= [1;2,1,3] \]

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2) Frazione continua per un numero razionale

Per trovare la frazione continua di un numero razionale \(x=\dfrac{a}{b}, a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\) è utile utilizzare l’algoritmo di Euclide per il massimo comune divisore.

2.1) L’algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comune divisore

Dati due interi \(a,b\) con \( b >0 \), l’algoritmo effettua un numero finito di divisioni secondo lo schema seguente:

\[ \begin{array}{l} a = q_{0}b + r_{0} \quad 0 \lt r_{0} \lt b \\ b= q_{1}r_{0} + r_{1} \quad 0 \lt r_{1} \lt r_{0} \\ r_{0}= q_{2}r_{1} + r_{2} \quad 0 \lt r_{2} \lt r_{1} \\ \vdots \\ r_{k-2}= q_{k}r_{k-1} + r_{k} \quad 0 \lt r_{k} \lt r_{k-1} \\ r_{k-1}=q_{k+1}r_{k} + 0 \\ \end{array} \]

Il massimo comune divisore di \(a\) e \(b\) è \( r_{k} \), l’ultimo resto non nullo nell’algoritmo di Euclide.
Se indichiamo \(x = \dfrac{a}{b}\) allora l’algoritmo di Euclide in realtà fornisce anche l’espressione della frazione continua del numero razionale \(\dfrac{a}{b}\):

\[ \begin{array}{l} a = a_{0} b + r_{0} \quad 0 \lt r_{0} \lt b \quad x_{1}=\dfrac{b}{r_{0}} \\ b= a_{1}r_{0} + r_{1} \quad 0 \lt r_{1} \lt r_{0} \quad x_{2}=\dfrac{r_{0}}{r_{1}} \\ \vdots \end{array} \]

Come è noto l’algoritmo di Euclide termina dopo un numero finito di passi, se \(a,b\) sono numeri interi. Viceversa ovviamente una frazione continua finita rappresenta un numero razionale. Possiamo riassumere questi risultati con il seguente teorema:

Teorema 2.1
Una frazione continua finita rappresenta un numero razionale. Viceversa ogni numero razionale può essere rappresentato con una frazione continua finita.

Esercizio 2.1
Esprimere i seguenti numeri razionali mediante frazioni continue

\[ \begin{array}{l} \dfrac{49}{18}=[2;1,2,1,1,2] \\ \dfrac{121}{100}=[1;4,1,3,5] \\ \end{array} \]

Esercizio 2.2
Dimostrare le seguenti relazioni:

\[ \begin{array}{l} [2;1,3,4]= \dfrac{47}{17} \\ [2;1,4,3]= \dfrac{45}{16} \\ [0;21,4,3]= \dfrac{16}{45} \\ \end{array} \]

La rappresentazione di un numero razionale mediante frazione continua non è unica. Vale infatti il seguente teorema

Teorema 2.2
Se un numero razionale \(x\) è rappresentabile con una frazione continua finita con un numero pari(dispari) di elementi, allora è rappresentabile anche con una frazione continua con un numero dispari(pari) di elementi. In una delle due forme l’ultimo quoziente parziale è uguale a \(1\), nell’altra è maggiore di \(1\).

Dimostrazione
Basta osservare che

\[ \begin{array}{l} [a_{0},a_{1}, \cdots ,a_{n-1},1]= [a_{0},a_{1}, \cdots ,a_{n-1}+1] \quad \text{ se } a_{n} = 1 \\ [a_{0},a_{1}, \cdots ,a_{n}]= [a_{0},a_{1}, \cdots ,a_{n}-1,1] \quad \text{ se } a_{n} \ge 2 \\ \end{array} \]

Si può dimostrare che, a parte questo caso, la frazione continua semplice di un numero razionale è unica. Cioè vale il seguente teorema:

Teorema 2.3
Se due frazioni continue semplici hanno lo stesso valore, cioè

\[ [a_{0}; a_{1}, \cdots a_{n}] = [b_{0}; b_{1}, \cdots a_{m}] \]

dove \(a_{n} \gt 1\) e \(b_{m} \gt 1\), allora risulta

\[ n=m \quad \text{ e } \quad a_{i}=b_{i} \quad \forall i=0,1, \cdots n \]

Esempio 2.1

\[ \begin{array}{l} \dfrac{47}{17}=[2;1,3,4]= [2;1,3,3,1] \\ \dfrac{3}{2}=[1;1,1]= [1;2] \\ \end{array} \]

2.2) L’inversa di una frazione continua

Dato un numero razionale \(x=\dfrac{a}{b}\) con \(a,b \neq 0\), vediamo come calcolare la frazione continua del numero razionale inverso \(y=\dfrac{1}{x}\).

La regola è molto semplice:

• se la prima cifra della frazione continua è uguale a zero, allora togliere la prima cifra
• se la prima cifra della frazione continua non è uguale a zero, allora spostare tutte le cifre a destra di una posizione, e mettere all’inizio la cifra uguale a zero

Esempio 2.2

\[ \begin{array}{l} \frac{29}{49}=[0;1,1,2,4,2] \\ \frac{49}{29}=[1;1,2,4,2] \\ \end{array} \]

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3) Proprietà delle frazioni continue

Gli interi \(a_{k}\) sono chiamati i quozienti parziali. Il valore della frazione continua \( [a_{0};a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{n}] \) è un numero razionale, cioè il rapporto fra due interi \( \dfrac{p_{n}}{q_{n}} \):

\[ \dfrac{p_{n}}{q_{n}}= [a_{0};a_{1}, \cdots , a_{n}] \]

Data una frazione continua \( [a_{0};a_{1}, \cdots, a_{N}] \), definiamo il convergente di ordine \( n, n \le N \) la frazione continua: \([a_{0};a_{1}, \cdots, a_{n}] \). Mediante il metodo di induzione matematica si dimostrano facilmente i seguenti teoremi:

Teorema 3.1

\[ \begin{array}{l} p_{n}= a_{n}p_{n-1}+ p_{n-2} \quad 2 \le n \le N \\ q_{n}= a_{n}q_{n-1}+ q_{n-2} \quad 2 \le n \le N \\ p_{0}= a_{0} \\ p_{1}=a_{0}a_{1}+1 \\ q_{0}= 1 \\ q_{1}= a_{1} \\ \end{array} \]

Teorema 3.2

\[ \begin{array}{l} p_{n}q_{n-1} -p_{n-1}q_{n}= (-1)^{n-1} \\ p_{n}q_{n-2} -p_{n-2}q_{n}= (-1)^{n}a_{n} \\ \end{array} \]

Esercizio 3.1
Dimostrare che le frazioni convergenti sono ridotte ai minimi termini, cioè \( (p_{n},q_{n})=1 \).

Teorema 3.3
I convergenti di ordine pari sono crescenti all’aumentare di \(n\), quelli dispari sono decrescenti. Inoltre ogni convergente di ordine dispari è maggiore di ogni convergente di ordine pari.

Come dice il nome le frazioni convergenti servono per approssimare il valore della frazione continua. Vale infatti il seguente teorema:

Teorema 3.4
Il valore di una frazione continua è maggiore di ognuno dei suoi convergenti di ordine pari e minore di ognuno di quelli dispari. Naturalmente è uguale all’ultimo convergente.

La dimostrazione deriva facilmente dalle formule del teorema 3.2.

Definizione 3.1
Il k-esimo quoziente completo \(r_{k}\) della frazione continua

\[ x =[a_{0}; a_{1}, \cdots a_{n}] \]

è definito dalla seguente espressione

\[ r_{k} =[a_{k},a_{k+1}, \cdots a_{n}] \]

Utilizzando le formule precedenti possiamo dimostrare facilmente il seguente

Teorema 3.5
Per un arbitrario \( 1 \le k \le n \)

\[ \displaystyle [a_0; a_1,a_2, \ldots, a_{n}]= \frac{p_{k-1}r_{k}+p_{k-2}}{q_{k-1}r_{k}+q_{k-2}} \]

Per un approfondimento sulle proprietà delle frazione continue vedere ad esempio ^[1].

Esempio 3.1 – Il calendario gregoriano
Come è noto l’anno solare è definito in base al tempo che la Terra impiega per percorrere un’orbita completa intorno al Sole, lungo l’eclittica. Il valore medio dell’anno solare è di circa 365,2422 giorni, corrispondente a \(365\) giorni, \(5\) ore, \(48\) minuti e \(45\) secondi.
L’anno civile è definito mediante il calendario gregoriano, introdotto nel \(1582\) da papa Gregorio XIII. Il calendario gregoriano prevede anni di \(365\) oppure di \(366\) giorni. In questo secondo caso si parla di anno bisestile. Gli anni bisestili sono quelli multipli di \(4\) ma non di \(100\), a meno che non siano anche multipli di \(400\).
Le frazioni continue possono aiutare a capire i motivi della scelta effettuata per il calendario gregoriano. Infatti la frazione continua corrispondente all’anno solare è la seguente:

\[ 365,2422= [365;4,7,1,3, \cdots] \]

Una prima approssimazione è data dal valore \(\left(365 + \dfrac{1}{4}\right)\), che spiega l’introduzione dell’anno bisestile ogni quattro anni. Calcolando le approssimazioni successive si comprendono i motivi delle correzioni apportate ogni \(100\) anni e ogni \(400\) anni.

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4) I numeri irrazionali quadratici e le frazioni continue periodiche

Gli irrazionali quadratici reali sono numeri della forma

\[ x = A + B\sqrt{D} \]

dove \(A,B\) sono numeri razionali e \(D\) è un intero positivo che non è un quadrato perfetto.
È facile dimostrare che un irrazionale quadratico soddisfa la seguente equazione di secondo grado:

\[ ax^{2}+bx+c=0 \quad a,b,c \in \mathbb{Z} \]

dove \( a \gt 0; b=-2aA; c=a(A^{2}-B^{2}D)\).

La scoperta dei numeri irrazionali da parte dei matematici greci ha posto l’esigenza di sviluppare algoritmi in grado di calcolare i valori approssimati delle grandezze geometriche irrazionali, ad esempio della diagonale di un quadrato. Il metodo utilizzato fin dall’antichità per calcolare la radice quadrata di un numero irrazionale \(x\) consiste nei seguenti passi:

• determinare il più grande l’intero positivo \(a \) tale che \( a^{2} \lt x \)
• calcolare il resto \( r = x – a^{2} = (\sqrt{x}-a)(\sqrt{x}+a) \)
• ricavare \( \sqrt{x}= a + \dfrac{r}{\sqrt{x}+a} \)
• sostituire il valore \( \sqrt{a}\) nel denominatore
• proseguire con lo stesso procedimento

Si ottiene la frazione continua generalizzata periodica seguente:

\[ \sqrt{x}= a + \frac{r}{2a+}\frac{r}{2a+}\cdots \]

4.1) Le frazioni continue semplici periodiche

Una frazione continua semplice periodica è una frazione del seguente tipo:

\[ x=[a_{0};a_{1}, \cdots ,a_{j},\overline {a_{j+1}, \cdots , a_{j+p}}] \]

dove la sequenza dei quozienti parziali, a partire da un certo punto, si ripete all’infinito. Il numero naturale \(p\) si chiama periodo della frazione continua. La parte precedente il gruppo di cifre periodiche si chiama antiperiodo.

Esercizio 4.1
Calcolare il valore della seguente frazione continua \( x= [5;1,\overline{1,3}] \).

Soluzione
Definiamo \( z = [\overline{1;3}] \). Il valore di \(z \) è:

\[ z= 1 + \dfrac{1}{3+ \dfrac{1}{z}} \] \[ 3z^{2}-3z – 1 =0 \]

Risolvendo abbiamo questa equazione di secondo grado; scartando la radice negativa otteniamo: \( z= \dfrac{3+\sqrt{21}}{6} \).
Quindi possiamo calcolare il valore della frazione continua completa:

\[ x= 5 + \dfrac{1}{1+ \dfrac{1}{z}}=\frac{48+6\sqrt{21}}{9+\sqrt{21}} \]

Questo esempio è una caso particolare di un risultato generale:

Teorema 4.1 – Lagrange
Una frazione continua semplice periodica è un numero irrazionale quadratico. Viceversa ogni irrazionale quadratico è rappresentato da una frazione continua periodica.

Dimostrazione
Dimostriamo solo la prima parte del teorema.
I quozienti completi della frazione continua periodica soddisfano la relazione: \(r_{k+h} =r_{k} \) per \( k \ge k_{0} \), dove \(h\) è il periodo della frazione. In base alle proprietà di ricorrenza possiamo scrivere:

\[ \begin{array}{l} x = \frac{p_{k-1}r_{k} +p_{k-2}}{q_{k-1}r_{k}+ q_{k-2}}= \frac{p_{k+h-1}r_{k+h} +p_{k+h-2}}{q_{k+h-1}r_{k+h}+ q_{k+h-2}}= \frac{p_{k+h-1}r_{k} +p_{k+h-2}}{q_{k+h-1}r_{k}+ q_{k+h-2}} \end{array} \]

Considerando la prima e a terza frazione, vediamo che il numero \(r_{k}\) soddisfa una equazione quadratica con coefficienti interi e quindi è un numero irrazionale quadratico. Ma allora anche \(x\) è un irrazionale quadratico.
Per la dimostrazione dell’inverso vedere il testo di Khinchin.

Esercizio 4.2

\[ \begin{array}{l} \sqrt{2}=[1;\overline{2}] \\ \end{array} \]

Soluzione

\[ \displaystyle \begin{array}{l} \sqrt{2}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\dfrac{1}{2+ \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}} = \\ = 1+\dfrac{1}{2+ \dfrac{1}{2+ \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}}}= \cdots \end{array} \]

Esercizio 4.3

\[ \sqrt{3}=[1;1,2,1,2, \cdots]=[1;\overline{1,2}] \]

Esercizio 4.4

\[ \begin{array}{l} \sqrt{77}=[8;\overline{1,3,2,3,1,16}] \\ \end{array} \]

4.2) Le frazioni continue semplici periodiche pure

Una frazione periodica si dice pura se la parte periodica comprende anche il primo termine dello sviluppo. Ad esempio

\[ \sqrt{11}+3 =[6,3,6,3, \cdots]=[\overline{6,3}] \]

Consideriamo ora un irrazionale quadratico \(\alpha\) che ha una frazione continua periodica pura:

\[ \alpha =[\overline{a_{0};a_{1}, \cdots ,a_{n}}] \]

Indichiamo con \(\beta\) la soluzione dell’equazione quadratica ottenuta invertendo il periodo della frazione continua:

\[ \beta =[\overline{a_{n};a_{n-1}, \cdots ,a_{0}}] \]

È facile verificare che \(-\dfrac{1}{\beta}\) è la seconda soluzione dell’equazione quadratica iniziale. Chiamiamo \(\alpha’=-\dfrac{1}{\beta}\) il coniugato di \(\alpha\).

Definizione 4.1
Un’equazione quadratica ridotta è un’equazione quadratica a coefficienti interi dove una soluzione è un numero irrazionale positivo maggiore di \(1\), e la seconda soluzione è maggiore di \(-1\) e minore di zero. Vale il seguente teorema:

Teorema 4.2 – Galois-Lagrange
La frazione continua semplice di un irrazionale quadratico \(t\) è puramente periodica se e solo se \(t \gt1\) e il suo coniugato soddisfa \( -1 \lt t’ \lt 0\).

Per una dimostrazione vedere ^[6].

4.3) La frazione continua di \(\sqrt{N}\)

Vediamo ora il caso importante delle frazioni continue di radici di interi, che non siano quadrati perfetti. In base al teorema 4.2 gli sviluppi non possono essere periodici puri, poiché il coniugato di \(\sqrt{N}\) è \(-\sqrt{N}\), che non è compreso nell’intervallo \((-1,0)\).
Notiamo che se \(N\) non è un quadrato, possiamo scrivere \(N= n^{2}+k\) dove \(k \in \{1,2, \cdots, 2n\}\). Vale il seguente teorema:

Teorema 4.3
Per ogni intero positivo \(n\) e ogni \(k \in \{1,2, \cdots, 2n \}\), la frazione continua di \(\sqrt{n^{2}+k} \) è della forma

\[ [n;\overline{a_{1},a_{2},\cdots, a_{r},2n}] \]

dove i numeri \( \{a_{1},a_{2},\cdots, a_{r}\} \) formano una sequenza palindromica.

La dimostrazione di questo teorema si basa sull’osservazione che posto \(\alpha = \sqrt{n^{2}+k}+ n\) , allora il coniugato \(\alpha’= -\sqrt{n^{2}+k}+n\) è compreso nell’intervallo (-1,0), e quindi vale il teorema 4.2.

Esempio 4.1

\[ \begin{array}{l} \sqrt{7}=[2;1,1,1,4] \\ \sqrt{29}=[5;2,1,1,2,10] \\ \sqrt{53}=[7;3,1,1,3,14] \\ \end{array} \]

4.4) Il numero aureo

Il numero aureo è il seguente numero irrazionale

\[ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]

È la radice positiva della seguente equazione di secondo grado:

\[ x^{2}-x-1=0 \]

Per trovare la frazione continua del numero aureo basta scrivere l’equazione nella seguente forma:

\[ x= 1+ \frac{1}{x}=1+ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} \]

Da questa equazione possiamo determinare la frazione continua del numero aureo:

\[ \phi = [1;1,1,1,1,\cdots] \]

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5) Le frazioni continue infinite non periodiche

Definizione 5.1
Una frazione continua infinita \([a_{0};a_{1}, \cdots,]\) si dice convergente ad un numero reale \(x\) se la successione dei convergenti \(\dfrac{p_{n}}{q_{n}}=[a_{0};a_{1}, \cdots,a_{n}]\) converge:

\[ x= \lim_{n \to \infty}[a_{0};a_{1}, \cdots ,a_{n}] \]

Riprendiamo in considerazione l’algoritmo per un numero reale nel paragrafo 1. In generale risulta

\[ x=[a_{0};a_{1}, \cdots, a_{n-1},x_{n}]=[a_{0};a_{1}, \cdots, a_{n-1},a_{n},x_{n+1}] \]

Se il numero \(x\) è irrazionale il processo non termina in un numero finito di passi. Sappiamo che vale la seguente relazione:

\[ x = \frac{p_{n-1}x_{n}+ p_{n-2}}{q_{n-1}x_{n}+ q_{n-2}} \]

Inoltre abbiamo

\[ \frac{p_{n}}{q_{n}}= [a_{0};a_{1}, \cdots, a_{n-1},a_{n}]=\frac{p_{n-1}a_{n}+ p_{n-2}}{q_{n-1}a_{n}+ q_{n-2}} \]

Mettendo insieme e utilizzando il teorema 3.2 otteniamo la seguente disuguaglianza

\[ \left|x-\frac{p_{n}}{q_{n}}\right|\lt \frac{1}{(q_{n-1}x_{n}+ q_{n-2})(q_{n-1}a_{n}+ q_{n-2})}\lt \frac{1}{q_{n}^{2}} \]

Vediamo quindi che la successione dei convergenti converge al numero \(x\). Possiamo quindi enunciare il seguente teorema:

Teorema 5.1
La frazione continua di un numero reale \(x\) converge ed ha come limite il valore \(x\) stesso.

Si può dimostrare anche il seguente teorema:

Teorema 5.2
Ogni frazione continua semplice infinita converge ad un limite che è maggiore di ognuno dei sui convergenti dispari, e minore di ognuno dei convergenti pari.

Abbiamo visto che le frazioni continue sono un metodo aggiuntivo per rappresentare i numeri reali. È un tipo di rappresentazione che non dipende dalla scelta di una base arbitraria, come la base decimale o binaria. Mentre il sistema decimale o il sistema binario sono vantaggiosi per il calcoli, le frazioni continue sono strettamente correlate al numero che rappresentano e sono uno strumento fondamentale per l’approssimazione dei numeri reali.

Definizione 5.2
Sia dato un numero reale \(x\). Un numero razionale \(\dfrac{p}{q}\) con \(q \gt 0\) si dice migliore approssimazione del primo tipo di \(x\) se

\[ \left|x-\frac{p}{q}\right| \lt \left|x-\frac{p’}{q’}\right| \]

per tutti gli interi \(p’,q’\) tali che \(0 \lt q’ \le q\) e \( \dfrac{p’}{q’} \neq \dfrac{p}{q}\).

Un numero razionale \(\dfrac{p}{q}\) con \(q \gt 0\) si dice migliore approssimazione del secondo tipo di \(x\) se

\[ |qx-p| \lt |q’x-p’| \]

per tutti gli interi \(p’,q’\) tali che \(0 \lt q’ \le q\) e \( \dfrac{p’}{q’} \neq \dfrac{p}{q}\).

Esercizio 5.1
Dimostrare che ogni approssimazione del secondo tipo è anche un’approssimazione del primo tipo.

Non è tuttavia vero il viceversa. Per l’approssimazione dei numeri reali vale il seguente fondamentale teorema:

Teorema 5.3
Ogni migliore approssimazione del secondo tipo è un convergente della frazione continua.
Viceversa ogni convergente è una migliore approssimazione del secondo tipo, tranne nel caso particolare di

\[ x=a_{0}+ \frac{1}{2}, \quad \frac{p_{0}}{q_{0}}=a_{0} \\ \]

Quindi tutti i convergenti sono migliori approssimazioni del secondo ordine (tranne nel caso particolare del teorema precedente). La situazione è diversa nel caso di approssimazioni del primo ordine; una frazione può essere migliore approssimazione del primo ordine senza essere un convergente.

Esempio 5.1
Consideriamo la seguente frazione continua:

\[ x=\frac{7}{38}=[0;5,2,3] \]

I convergenti sono i seguenti: \( \frac{0}{1},\frac{1}{5}, \frac{2}{11}, \frac{7}{38}\). La frazione \(\frac{5}{27}=[0;5,2,2]\) non è un convergente, ma è la migliore approssimazione fra tutte le frazioni con denominatore minore o uguale di 28.

Esempio 5.2 – L’approssimazione del numero \(e\) di Eulero
Il numero \(e\) di Eulero è così definito:

\[ e = \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2,718281\cdots \]

È un numero irrazionale e trascendente. È una delle costanti fondamentali che appare in molte equazioni della matematica pura e applicata. Viene anche chiamato numero di Nepero, in quanto venne introdotto dal matematico John Napier(1550 – 1617) come base dei logaritmi naturali; l’indicazione con la lettera “e” è dovuta ad Eulero.
La frazione continua corrispondente al numero di Nepero è la seguente:

\[ e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1 \cdots ,1,2n,1, \cdots] \]

Una prima dimostrazione è stata data da Eulero. Un’altra dimostrazione è stata data da Hermite, come corollario della sua dimostrazione della trascendenza del numero \(e\). Per i dettagli vedere ^[3] oppure ^[4].
La rappresentazione può essere messa in modo ancora più elegante, sostituendo il numero \(2\) iniziale con la sequenza \(1,0,1\)::

\[ e = [1;0,1;1,2,1,1,4,1,1,6,1 \cdots ,1,2n,1, \cdots] \]

Esempio 5.3 – L’approssimazione di \(\pi\)
Il numero \(\pi\) deriva dallo studio delle dimensioni del cerchio, essendo il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il diametro. È conosciuto da almeno 4000 anni ed è la costante più nota, anche fuori dal mondo matematico. Si tratta di un numero irrazionale e trascendente. Attualmente, grazie ai computers, si conoscono milioni di cifre decimali del numero \(\pi\). Mediante l’algoritmo euclideo è possibile calcolare i primi elementi della frazione continua infinita corrispondente:

\[ \pi = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,\cdots ] \]

I primi convergenti di \(\pi\) sono quindi:

\[ \begin{array}{l} [3;] = 3 \\ [3;7]= \frac{22}{7}= 3,142857 \\ [3;7,15]= \frac{333}{106}= 3,141509 \\ [3;7,15,1]= \frac{355}{113}= 3,14159292 \\ [3;7,15,1,292]= \frac{103993}{33102}= 3,14159265 \\ \end{array} \]

I convergenti permettono di approssimare \( \pi \) con grande precisione. L’errore commesso è:

\[ \begin{array}{l} \pi – \frac{22}{7} \approx -0,001 \\ \pi – \frac{333}{106} \approx 0,00008 \\ \pi – \frac{355}{113} \approx -0,000000267 \\ \end{array} \]

La frazione \(\dfrac{355}{133}\) è un’ottima approssimazione, corretta fino a sei cifre decimali, ed è facile da ricordare. Venne scoperta dal matematico olandese Adrien Metius(1571-1635). Il numero è anche conosciuto come numero di Metius.

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6) La distribuzione delle cifre di una frazione continua

Abbiamo visto che la frazione continua semplice del numero di Nepero \(e\) ha una distribuzione molto regolare, mentre per il numero \(\pi\) non è stata trovata nessuna configurazione regolare. Gauss pose il problema di determinare la probabilità \(p(k)\) che un intero \(k\) appaia nello sviluppo della frazione continua di un numero irrazionale. La probabilità è definita come il limite della frequenza delle occorrenze del numero \(k\) nei primi \(n\) elementi della frazione continua, al tendere di \(n\) all’infinito.
Il teorema seguente enunciato da Gauss, senza pubblicare la dimostrazione, venne poi dimostrato anche da Kuzmin e Lévi.

Teorema 6.1 – Gauss-Kuzmin-Lévi
Per quasi tutti i numeri reali la probabilità che un intero \(k\) appaia nella sua espansione come frazione continua è:

\[ p(k)=\log_{2}\left(1+ \frac{1}{k(k+2)}\right) \]

Con il termine “per quasi tutti i numeri reali” si intende che le eccezioni costituiscono un insieme di misura nulla. Per la dimostrazione e per un’analisi approfondita vedere ^[7].
I numeri razionali ovviamente non soddisfanno il teorema, in quanto le loro frazioni continue sono finite. Lo stesso vale per gli irrazionali quadratici, in quanto le frazioni continue sono periodiche. Anche il numero di Eulero non soddisfa il teorema. Per quanto riguarda il numero \(\pi\) ci sono evidenze numeriche che soddisfi il teorema, ma nessuna prova.
La distribuzione \(p(k)\) viene chiamata distribuzione di  Gauss–Kuzmin.
Effettuando dei calcoli otteniamo i seguenti valori approssimati:

\[ \begin{array}{l} p(1) \approx 0,42 \\ p(2) \approx 0,17 \\ p(3) \approx 0,029 \\ \end{array} \]

Esercizio 6.1
Dimostrare che \(p(k)\) è effettivamente una distribuzione di probabilità; cioè:

\[ \sum\limits_{k=1}^{\infty}p(k)=1 \]

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Conclusione

La teoria delle frazioni continue è tuttora un campo attivo di ricerca. Oltre alle classiche applicazioni nella teoria dei numeri, gioca un ruolo importante in diversi settori della matematica e delle scienze applicate: analisi numerica, analisi complessa, fisica quantistica, scienze statistiche ed economiche, ecc.
In articoli successivi descriveremo alcune applicazioni importanti nel campo della crittografia, in particolare l’algoritmo CFRAC (continued fraction factorization method) e il metodo di attacco crittografico contro l’algoritmo RSA proposto da Michael J. Wiener.

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Bibliografia

^[1]A. Ya. Khinchin – Continued Fractions (Dover Publications, 2018)

^[2]W. LeVecque – Fundamentals of Number Theory (Addison-Wesley)

^[3]C.D. Olds – The simple continued fraction expansion of e (A.M.M. Vol. 77 N. 9, Nov 1970)

^[4]D. Knuth – The Art of Computer Programming Vol. II (Addison Wesley)

^[5]O. Perron – Die Lehre von den Kettenbruchen, Band II (Teubner, Stuttgart, 1957)

^[6]C.D. Olds – Continued Fractions (Random House)

^[7]S. Miller, R. Takloo-Bighash – An Invitation to Modern Number Theory (Princeton U.P.)