Le Serie Numeriche – Convergenza Assoluta e Condizionale, Sommazione delle Serie Divergenti

In un articolo precedente abbiamo studiato le principali proprietà delle successioni di numeri reali e complessi. Le successioni numeriche sono la base per la teoria delle serie numeriche, che studieremo in questo articolo.
La teoria delle serie ha un vasto campo di applicazioni in numerosi settori della matematica pura e applicata: calcolo differenziale e integrale, equazioni differenziali, fisica matematica, finanza ed economia, biologia e molti altri.

1) Serie di numeri reali

Sia \(\{x_{n}, n=1,2,3,\cdots\}\) una successione di numeri reali. Una serie infinita è un’espressione del seguente tipo:

\[ \sum\limits_{k=1}^{\infty}x_{k}=x_{1}+x_{2}+ \cdots + x_{n} + \cdots \]

Lo studio della serie si riduce allo studio della successione delle somme parziali \(S_{n}\) così definite:

\[ \begin{array}{l} S_{1}= x_{1} \\ S_{2}= x_{1} + x_{2} \\ \cdots \\ S_{n}=x_{1}+x_{2}+ \cdots + x_{n} \\ \cdots \end{array} \]

La serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) si dice convergente al valore \(S\) se esiste il limite finito della successione delle somme parziali:

\[ \lim_{n \to \infty}S_{n}=S \]

In generale si dice divergente ogni serie che non è convergente. Più precisamente se \(\lim\limits_{n \to \infty}S_{n} = \infty \) allora la serie si dice divergente a \(+ \infty\). Se \(\lim\limits_{n \to \infty}S_{n} = -\infty \) allora la serie si dice divergente a \(-\infty\). Se invece il limite non esiste, finito o infinito, allora la serie si dice oscillante.
Una serie \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_{k}\) si dice assolutamente convergente se converge la serie \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}|x_{k}|\), cioè se esiste finito il limite

\[ \lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n}|x_{k}| \lt \infty \]

Se una serie è convergente ma non è assolutamente convergente allora si dice condizionatamente convergente.

Esempio 1.1
La serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\) è divergente, più precisamente oscillante, in quanto

\[ S_{n}= \begin{cases} 1 \ ,\quad \text{n dispari} \\ 0 \ ,\quad \text{n pari} \end{cases} \]

La somma parziale oscilla tra i valori \(0\) e \(1\), e quindi il limite non esiste.

Esercizio 1.1
Determinare l’espressione del termine n-esimo delle seguenti serie:

\[ \begin{array}{l} A= 1+ \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{7}+ \cdots \\ B= 1+ \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{9}+ \dfrac{1}{16}+ \cdots \\ C= \dfrac{3}{4}+ \dfrac{4}{9}+ \dfrac{5}{16}+\dfrac{6}{25} + \cdots \\ D= \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{12}+ \dfrac{1}{20}+ \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{42}+ \cdots \\ E= 1+ \dfrac{1\cdot 3}{1\cdot 4}+ \dfrac{1\cdot 3 \cdot 5}{1\cdot 4 \cdot 7}+ \dfrac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{1\cdot 4 \cdot 7 \cdot 10}+ \cdots \\ \end{array} \]

Soluzione: \(\left[D= \dfrac{1}{n(n+1)}, E= \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot (2n-1)}{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdots \cdot (3n-2)}\right]\)

È facile verificare che la convergenza di una serie non dipende dai valori iniziali. Precisamente le due serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n+k}\), con \(k \gt 0\), hanno lo stesso comportamento.
Un esempio molto importante di serie è la serie geometrica, nella quale il rapporto fra un termine e il precedente è costante:

\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty}x^{k}= 1 + x + x^{2}+ x^{3}+ \cdots \]

dove \(x\) è un numero reale.

Esercizio 1.2 – Serie geometrica
Dimostrare che la somma parziale della serie geometrica è la seguente:

\[ S_{n}= \sum\limits_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \]

Quindi dimostrare che la serie geometrica converge se e solo se \(|x| \lt 1\) e la somma vale

\[ S=\lim_{n \to \infty}S_{n}= \frac{1}{1-x} \ ,\quad \text{se }|x| \lt 1 \]

Dalle proprietà studiate per le successioni dei numeri deriva il seguente criterio generale di convergenza di Cauchy:

Teorema 1.1 – Cauchy
Condizione necessarie e sufficiente per la convergenza della serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) è che per ogni numero reale \(\epsilon \gt 0\) esista un numero naturale \(n_{\epsilon}\) tale che per \(n \ge n_{\epsilon}\) e un arbitrario numero naturale \(k\) risulti

\[ \begin{array}{l} |x_{n+1}+ x_{n+2}+ \cdots + x_{n+k}| = | S_{n+k} – S_{n}| \lt \epsilon \end{array} \]

Esercizio 1.3
Dimostrare che se una serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) è convergente, allora \(\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}=0\).

Osserviamo che la condizione \(x_{n} \to 0\) è necessaria, ma non sufficiente. Un esempio classico è dato dalla serie armonica

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}= 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ \cdots \]

A prima vista si potrebbe pensare che la serie converge, in quanto in termini diventano sempre più piccoli. Tuttavia Nicole Oresme (c. 1325-1382) dimostrò per primo che la serie è divergente.
Descriviamo la dimostrazione di Oresme. Definiamo la somma armonica:

\[ H_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \]

Consideriamo le seguenti somme parziali:

\[ \begin{array}{l} H_{1} =1 \\ H_{2}= 1 + \frac{1}{2} \\ H_{4}= 1 + \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) \gt 1 + \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) \gt 1+ 2 \cdot\frac{1}{2} \\ H_{8}= 1 + \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+ \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) \gt 1+ 3 \cdot\frac{1}{2} \\ \vdots \\ H_{2^{n}} \ge 1 + n\left(\dfrac{1}{2}\right) \end{array} \]

Poiché la successione delle somme \(H_{2^{n}}\) diverge, ne segue che diverge anche la successione \(H_{n}\).
Un altra dimostrazione interesante della divergenza della serie armonica è stata data da Jacob Bernoulli (1655-1705), nel suo ‘Tractatus de seriebus infinitus’. Per questa vedere il testo di Dunham ^[2].

Esercizio 1.4
Dimostrare che la seguente serie diverge:

\[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} + \cdots + \dfrac{n}{2n+1} + \cdots \end{array} \]

Teorema 1.2
Se \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}=A\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}=B\), allora

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n}+y_{n})=A+B \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n}-y_{n})=A-B \end{array} \]

In genere non vale il viceversa. Cioè la convergenza della serie a sinistra non implica la convergenza delle singole serie a destra. Ad esempio la serie seguente

\[ (1-1) + (1-1) + (1-1) + \cdots \]

converge a \(0\), ma le singole serie sono divergenti.

Esercizio 1.5
Determinare alcuni esempi di serie divergenti, la somma delle quali converge.

Esercizio 1.6
Sia \(D_{t}\) l’insieme degli interi positivi che non contengono la cifra decimale \(t\), con \(t \in\{0,1,2,\cdots,9\}\). Dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k \in D_{t}}{}\dfrac{1}{k} \lt \sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{9^{k}}{10^{k-1}}=90 \end{array} \]

Suggerimento
Nell’intervallo \([10^{k-1},10^{k})\) gli interi hanno \(k\) cifre. Contare gli interi dell’intervallo che non hanno la cifra \(t\).
Quindi se prendiamo solo gli interi positivi che mancano di una cifra decimale fissata, la corrispondente serie armonica ridotta converge.

Esercizio 1.7
Dimostrare che

\[ \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5}+ \frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7}+ \frac{1}{5 \cdot 7 \cdot 9}+ \cdots = \frac{1}{12} \]

Esercizio 1.8
Dimostrare che

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}+ 9^{n/2}}{5^{n}}= \frac{17}{6} \]

Esercizio 1.9
Ricordiamo che un numero triangolare è un numero della forma \(T(n)=\dfrac{n(n+1)}{2}\). Quindi i primi numeri triangolari sono: \(1,3,6,10,\cdots\).
Dimostrare la seguente formula:

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{T(n)}= 1 + \frac{1}{3}+ \frac{1}{6}+\frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{T(n)}+ \cdots = 2 \]

2) Serie con termini positivi

In questo paragrafo studiamo le proprietà delle serie i cui termini sono numeri reali positivi. Vale il seguente teorema:

Teorema 2.1
Un serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) di termini positivi è convergente se e solo se le sue somme parziali sono limitate. In altri termini esiste una costante positiva \(M\) tale che

\[ \sum\limits_{k=1}^{n}x_{k} \le M \quad \forall n \in \mathbb{N} \]

Viceversa se le somme parziali non sono limitate, allora la serie è divergente a \(+\infty\).

Questo teorema è una conseguenza diretta delle proprietà delle successioni monotone di numeri reali, le quali sono convergenti se e solo se sono limitate.

Esercizio 2.1
Supponiamo che la serie a termini positivi \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}x_{n}\) sia convergente. Sia \(\{a_{n}\}\) una successione di numeri reali positivi limitata. Dimostrare che anche la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}x_{n}\) è convergente.

Esercizio 2.2
Dimostrare la seguente formula:

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin \frac{1}{2^{n+1}}\cos \frac{3}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\sin 1 \]

Nel seguito studiamo alcuni criteri utili per determinare la convergenza delle serie con termini positivi.

2.1) Criterio del confronto

Teorema 2.2
Supponiamo che la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) sia convergente. Allora se

\[ 0 \le y_{n} \le x_{n} \quad \text{per } n \gt 0 \]

anche la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\)  converge.
Viceversa supponiamo che la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) sia divergente. Allora se

\[ 0 \le x_{n} \le y_{n} \quad \text{per } n \gt 0 \]

anche la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) diverge.

Nota
Osserviamo che non è necessario che le due disuguaglianze siano soddisfatte per ogni intero positivo, ma è sufficiente che valgano da un certo \(n \ge 1\) in poi. In altri termini che valgano definitivamente.

Esempio 2.1
La serie \(\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{\ln n}\) diverge in quanto

\[ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n} \gt \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n} \]

Esercizio 2.3
Dimostrare che la serie seguente converge:

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{3n^{3}-1} \]

Esercizio 2.4
Consideriamo la serie

\[ \begin{array}{l} S= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{n}}= 1+ \dfrac{1}{2^{2}}+ \dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{4^{4}}+ \cdots \end{array} \]

Dimostrare, confrontando con la serie geometrica, che la serie converge e \(S \le \dfrac{3}{2}\).

Esercizio 2.5
Dimostrare che la seguente serie è divergente:

\[ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n} \]

Esercizio 2.6 – Il numero di Eulero
Dimostrare che la serie seguente converge:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}= 1+ \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+ \dfrac{1}{4!}+ \cdots \end{array} \]

Suggerimento
Confrontare con la serie geometrica \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n-1}}\). Ricordiamo che per convenzione \(0! = 1\).

La somma della serie è il numero di Eulero \(e\), base dei logaritmi naturali, che è un numero irrazionale e trascendente (vedi articolo su questo sito). Ricordiamo che una definizione equivalente del numero di Eulero è la seguente:

\[ e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2,71828 \]

2.2) Criterio del quoziente

Teorema 2.3
Supponiamo che \(x_{n} \ge 0\) e \(y_{n} \ge 0\). Se esiste finito e diverso da zero il limite

\[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{x_{n}}{y_{n}}=L \]

allora le due serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) sono entrambe convergenti o entrambe divergenti.
Se \(L=0\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) converge, allora anche \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) converge.
Se \(L=\infty\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) diverge, allora anche \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) diverge.

Esempio 2.2
Ad esempio la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n+1}\) è divergente, in quanto la serie armonica è divergente e risulta

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1}= \frac{1}{2} \neq 0 \]

Esercizio 2.7
Dimostrare che la serie seguente è convergente:

\[ 1+ \frac{1}{2 -1}+ \frac{1}{2^{2}-2}+ +\frac{1}{2^{3}-3}+ \cdots + \frac{1}{2^{n}-n}+ \cdots \]

Suggerimento
Come termine di confronto utilizzare la serie geometrica.

2.3) Criterio del rapporto di d’Alembert

Teorema 2.4 – d’Alembert
Data la serie a termini positivi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\), supponiamo che esista il seguente limite

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=L \end{array} \]

Allora la serie converge se \(L \lt 1\) e diverge se \(L \gt 1\).
Se il limite non esiste oppure è uguale a \(1\), allora il test di d’Alembert non fornisce indicazioni sulla convergenza o divergenza della serie.

Esercizio 2.8
Consideriamo la serie

\[ \frac{1}{2}+ \frac{3}{2^{2}}+ \frac{5}{2^{3}}+ \cdots + \frac{2n-1}{2^{n}}+ \cdots \]

Dimostrare che \(\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=\dfrac{1}{2}\), e quindi la serie converge.

Esercizio 2.9
Consideriamo la serie

\[ \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4}+ \cdots + \frac{1}{n(n+1)}+ \cdots \]

Dimostrare che il test di d’Alembert non è applicabile. Dimostrare mediante un altro modo che la serie è convergente alla somma \(S=1\).

Suggerimento
Utilizzare la seguente formula

\[ \dfrac{1}{n(n+1)}= \dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n+1} \]

Esercizio 2.10
Dimostrare che se \(L=1\) e il rapporto \(\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}} \gt 1\)  per tutti gli \(n\), oppure da un \(n\) in poi, allora la serie diverge.
Come esempio studiare la seguente serie

\[ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3}+ \frac{3}{4}+ \cdots + \frac{n}{n+1}+ \cdots \]

2.4) Criterio della radice di Cauchy

Teorema 2.5 – Cauchy
Sia data la serie a termini positivi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\). Supponiamo che

\[ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_{n}}= L \]

Allora la serie è convergente se \( L \lt 1\), mentre è divergente se \(L \gt 1\).
Se \(L=1\) oppure il limite non esiste, allora il criterio non dà indicazioni sulla convergenza o divergenza.

Dimostrazione
La dimostrazione segue osservando che se \(L \lt 1\), allora si ha definitivamente \(x_{n} \lt (L+\epsilon)^{n}\), con \(\epsilon \gt 0\) arbitrariamente piccolo, e la serie geometrica \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(L+\epsilon) ^{n}\) è convergente.
Se invece \(L \gt 1\), allora si ha definitivamente \(x_{n} \gt 1\) e la serie \(\{1+1+1+ \cdots \}\) è divergente.

Esercizio 2.11
Applicare il criterio di Cauchy per dimostrare che la serie seguente converge:

\[ S= \left(\frac{1}{3}\right)^{1} + \left(\frac{2}{5}\right)^{2}+ \left(\frac{3}{7}\right)^{3}+ \cdots + + \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n} + \cdots \]

Esempio 2.3 – Serie di Dirichlet
Consideriamo la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}}\) con \(p \gt 0\). Nel prossimo paragrafo vedremo che la serie è convergente per \(p \gt 1\) e divergente per \(p \le 1\). Tuttavia abbiamo

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to\infty} \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1 \\ \lim\limits_{n \to\infty} \sqrt[n]{x_{n}}=1 \end{array} \]

Quindi esistono serie per le quali il criterio di d’Alembert e il criterio della radice non sono applicabili.

Esercizio 2.12
Dimostrare che se esiste il limite

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}= L \gt 0 \end{array} \]

allora

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_{n}}= L \end{array} \]

Suggerimento

\[ \begin{array}{l} \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}} = \begin{cases} L^{1 + \sqrt{n}+ \sqrt{n+1}} \ ,\quad \text{n dispari} \\ L^{1 -\sqrt{n}- \sqrt{n+1}} \ ,\quad \text{n pari} \end{cases} \end{array} \]

La proprietà inversa tuttavia non è vera.
Il seguente teorema è una generalizzazione del criterio della radice.

Teorema 2.6
Sia data la serie a termini positivi \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\). Allora

\[ \begin{array}{l} \limsup \sqrt[n]{x_{n}} \lt 1 \implies \text{la serie converge} \\ \liminf \sqrt[n]{x_{n}} \gt 1 \implies \text{la serie diverge} \end{array} \]

Per le definizioni limite superiore e limite inferiore (chiamati anche massimo e minimo limite) di una successione vedere ad esempio l’articolo su questo sito.

2.5) Serie con termini positivi decrescenti

I termini della serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) si dicono formare una successione decrescente se

\[ x_{1} \ge x_{2} \ge x_{3} \ge \cdots \ge x_{n} \cdots \]

Una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo \([a,b]\) si dice decrescente se per ogni coppia di punti  \(x,y\) con \(x \lt y\) si ha \(f(x) \ge f(y)\).

Teorema 2.7 – Criterio integrale di Cauchy
 Sia \(f: [1,+\infty] \to \mathbb{R}\) una funzione continua, positiva e decrescente. Allora la serie

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n) \end{array} \]

e l’integrale improprio

\[ \begin{array}{l} \int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx \end{array} \]

convergono o divergono simultaneamente.
Il teorema rimane valido se le disuguaglianze di decrescenza valgono da un certo valore \(n \gt 1\) in poi.

Esercizio 2.13 – Serie di Dirichlet
Mediante il criterio dell’integrale dimostrare che

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} = \begin{cases} p \gt 1 \implies \text{convergente} \\ p \le 1 \implies \text{divergente} \end{cases} \]

Basta applicare il criterio integrale utilizzando la funzione \(f(x)=\dfrac{1}{x^{p}}\). Abbiamo infatti

\[ \int\limits_{1}^{n} \frac{dx}{x^{p}} = \begin{cases} \dfrac{1}{1-p}(n^{1-p}-1) \ ,\quad p \neq 1 \\ \ln n \ ,\quad p = 1 \end{cases} \]

Al tendere di \(n \to \infty\) abbiamo:

\[ \begin{cases} \int\limits_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{p}} = \dfrac{1}{p-1} \ ,\quad p \gt 1 \\ \int\limits_{1}^{\infty}\dfrac{dx}{x^{p}} = +\infty \ ,\quad p \le 1 \end{cases} \]

Quindi la serie è convergente per \(p \gt 1\) e divergente per \(p \le 1\). La serie di Dirichlet con \(p \gt 1\) coincide con la funzione zeta di Riemann, che ha un ruolo fondamentale in molti campi, in particolare nella teoria dei numeri. La funzione zeta viene indicata con il simbolo \(\zeta(p)\) e la definizione è estesa anche ai valori complessi di \(p\).
Alcuni valori della funzione zeta sono:

\[ \zeta(2)=\dfrac{\pi^{2}}{6},\ \zeta(4)=\dfrac{\pi^{4}}{90},\ \zeta(6)=\dfrac{\pi^{6}}{945} \]

Esercizio 2.14
Dimostrare che la serie seguente è convergente:

\[ S = \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{3 \cdot 4}+ \frac{1}{5 \cdot 6}+ \cdots + \frac{1}{(2n-1)\cdot 2n} + \cdots \]

Suggerimento
Applicare il criterio del confronto con la serie di Dirichlet di ordine \(2\).

Esercizio 2.15
Sia \(f:[1,\infty] \to \mathbb{R}\) una funzione positiva e decrescente. Poniamo

\[ S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}f(k) \ ,\quad I_{n}=\int\limits_{1}^{n}f(x)dx \]

Dimostrare che la successione di numeri reali \(\{S_{n}-I_{n}\}\) è decrescente e il suo limite è contenuto nell’intervallo \([0,f(1)]\).

Applicare il risultato precedente per dimostrare che esiste il limite della seguente successione:

\[ 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \cdots + \frac{1}{n} – \ln n \]

e il limite è contenuto nell’intervallo \((0,1)\).

Teorema 2.8 – Test di condensazione di Cauchy
Sia \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) una serie di termini non negativi decrescenti:

\[ x_{1} \ge x_{2} \ge \cdots \ge x_{n} \ge \cdots \]

Allora

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n} \quad \text{converge} \iff \sum\limits_{n=1}^{\infty}2^{n}x_{2^{n}} \quad \text{converge} \end{array} \]

Dimostrazione
Per la dimostrazione osservare le seguenti disuguaglianze:

\[ \begin{array}{l} x_{1}+ 2x_{2}+ 4x_{4} + \cdots \ge \\ x_{1}+ x_{2}+ x_{3} + x_{4}+x_{5}+ x_{6}+ x_{7} + \cdots \ge \\ x_{2}+ 2x_{4}+ 4x_{8} + \cdots \end{array} \]

Esercizio 2.16
Dimostrare che la serie

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n \ln n} \end{array} \]

è divergente.

Esercizio 2.17
Mediante il test di condensazione di Cauchy studiare nuovamente la convergenza della serie di Dirichlet di ordine \(p\): \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}\).

Suggerimento
Ricordando la serie geometrica, osservare che

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}\dfrac{1}{(2^{n})^{p}}= \dfrac{1}{1 – \left(\dfrac{1}{2}\right)^{p -1}} \quad \text{se } p \gt 1 \end{array} \]

Se invece \(p \le 1\) allora la serie diverge.

Esercizio 2.18
Sia \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) una serie di termini non negativi decrescenti. Dimostrare che se la serie converge allora

\[ \lim\limits_{n \to \infty}n x_{n}=0 \]

La condizione non è tuttavia sufficiente per la convergenza.

I risultati ottenuti per le serie con tutti i termini non negativi si estendono chiaramente alle serie con tutti i termini non positivi. Più in generale sono validi per serie che hanno un numero finito di termini negativi e un numero infinito di termini positivi, oppure un numero finito di termini positivi e un numero infinito di termini negativi.
Nei prossimi paragrafi studieremo le proprietà delle serie che hanno infiniti termini positivi e infiniti termini negativi.

3) Serie con termini alternanti

Definizione 3.1 – Serie alternante
Una serie alternante è una serie del tipo

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x_{n}=x_{1} – x_{2}+ x_{3}- x_{4} + \cdots \]

dove \(x_{n} \gt 0\) per ogni \(n\).
Per lo studio della convergenza delle serie alternanti è importante il seguente teorema:

Teorema 3.1 – Leibniz
Sia data una serie alternante \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x_{n}\). Se risulta

\[ \begin{array}{l} x_{1} \ge x_{2} \ge x_{3} \ge \cdots \quad \text{e} \quad \lim\limits_{n \to \infty}x_{n}= 0 \end{array} \]

allora la serie converge ad una somma \(S \le x_{1}\).

Dimostrazione
La somma parziale di ordine pari \(S_{2n}\) è

\[ \begin{array}{l} S_{2n} = x_{1}- (x_{2}-x_{3}) -(x_{4}-x_{5})- \cdots -(x_{2n-2}-x_{2n-1}) – x_{2n} = \\ (x_{1}- x_{2}) + (x_{3} -x_{4}) + \cdots + (x_{2n-1}-x_{2n}) \end{array} \]

La successione \(S_{2n}\) è monotona non decrescente e limitata, in quanto \(S_{2n} \le x_{1}\). Quindi esiste il limite \(S\). Tuttavia per provare che la serie è convergente dobbiamo provare che anche le somme parziali di ordine dispari \(S_{2n+1}\) convergono allo stesso limite. Ma questo segue facilmente dalle seguenti relazioni:

\[ \begin{array}{l} S_{2n+1 }= S_{2n}+ x_{2n+1} \\ \lim\limits_{n \to \infty} S_{2n+1}= \lim\limits_{n \to \infty} S_{2n}+ 0 =S \end{array} \]

Quindi la serie converge.
Naturalmente il criterio di Leibniz è valido anche se le disuguaglianze fra i termini valgono da un certo indice \(n_{0}\) in poi.
Nel caso di serie in cui è applicabile il criterio di Leibniz è facile calcolare una stima dell’errore che si commette nella valutazione della somma della serie.

Esercizio 3.1
Dimostrare che il resto \(R_{n}=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}(-1)^{k-1}x_{n}\) della serie alternante soddisfa la seguente disuguaglianza:

\[ \begin{array}{l} |R_{n}| \lt x_{n+1} \end{array} \]

Esercizio 3.2
Dimostrare che la seguente serie alternante

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \end{array} \]

è divergente.

Esercizio 3.3
Dimostrare che la serie

\[ \begin{array}{l} 1 – \dfrac{1}{2^{p}} + \dfrac{1}{3^{p}}- \dfrac{1}{4^{p}} + \dfrac{1}{5^{p}}- \cdots \end{array} \]

converge se \(0 \lt p \le 1\).
Nel caso \(p=1\) abbiamo

\[ \begin{array}{l} 1 – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}- \cdots = \ln 2 \end{array} \]

Esercizio 3.4
Dimostrare che la serie seguente converge:

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\sqrt[n]{a}-1) \ ,\quad a \gt 1 \]

Nota
Osserviamo che il criterio di Leibniz è una condizione sufficiente, ma non necessaria, per la convergenza di una serie alternante. Una serie alternante può convergere se il valore assoluto del termine generico tende a zero in modo non monotono. Ad esempio la serie seguente

\[ \begin{array}{l} 1 – \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{3^{3}}- \dfrac{1}{4^{2}} + \dfrac{1}{5^{3}}- \cdots + \dfrac{1}{(2n-1)^{3}} – \dfrac{1}{(2n)^{2}} + \cdots \end{array} \]

converge, anche se il criterio di Leibniz non è soddisfatto.

4) Serie generali – Convergenza assoluta e condizionale

Consideriamo ora serie generali, che hanno infiniti termini positivi e infiniti termini negativi. Le serie alternanti che abbiamo visto nel paragrafo precedente sono un caso particolare.
Ricordiamo che una serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) si dice assolutamente convergente se converge la serie dei valori assoluti:

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_{n}|=|x_{1}|+ |x_{2}|+ \cdots + |x_{n}|+ \cdots \]

Se una serie è convergente ma non assolutamente convergente, allora si dice che è condizionatamente convergente.
Mediante il criterio generale di convergenza di Cauchy è facile dimostrare il seguente:

Teorema 4.1
Una serie assolutamente convergente è convergente.

Esercizio 4.1
Dimostrare che la serie seguente è convergente:

\[ \frac{\sin \theta}{1^{2}} + \frac{\sin 2\theta}{2^{2}} + \frac{\sin 3\theta}{3^{2}} + \cdots + \frac{\sin n\theta}{n^{2}} + \]

dove \(\theta\) è un numero reale qualsiasi.
Chiaramente una serie con termini non negativi convergente è assolutamente convergente. Tuttavia esistono serie convergenti che non sono assolutamente convergenti.

Esercizio 4.2
Dimostrare che la serie

\[ 1 – \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4} + \frac{1}{5} -\frac{1}{6} + \cdots \]

è convergente ma non assolutamente convergente. Più in generale dimostrare che la serie

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2^{p}}= 1 – \frac{1}{2^{p}} + \frac{1}{3^{p}} – \cdots \]

è convergente per ogni \( p \gt 0\), ma è assolutamente convergente solo per \(p \gt 1\) e non per \(p \le 1\).

Per studiare la convergenza assoluta delle serie si possono utilizzare i test definiti per le serie a termini non negativi.

Esercizio 4.3
Dimostrare che la seguente serie è assolutamente convergente

\[ \begin{array}{l} 1 – \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} – \left(\dfrac{3}{5}\right)^{3} + \left(\dfrac{4}{7}\right)^{4} + \left(\dfrac{5}{9}\right)^{5} + \cdots + (-1)^{n(n-1)/2} \left(\dfrac{n}{2n-1}\right)^{n} + \cdots \end{array} \]

Sugg. Utilizzare il criterio della radice.

Sia data una serie di numeri reali \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\). Definiamo i termini

\[ \begin{array}{l} x_{n}^{+} = \begin{cases} x_{n} \quad \text{se } x_{n} \ge 0 \\ 0 \quad \text{se } x_{n} \lt 0 \\ \end{cases} \ ,\qquad x_{n}^{-} = \begin{cases} -x_{n} \quad \text{se } x_{n} \lt 0 \\ 0 \quad \text{se } x_{n} \ge 0 \\ \end{cases}\end{array} \]

Chiaramente si ha

\[ \begin{array}{l} x_{n}= x_{n}^{+} – x_{n}^{-} \end{array} \]

Consideriamo ora le due serie con termini non negativi

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_{n}^{+}, \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_{n}^{-} \end{array} \]

Teorema 4.2
Condizione necessaria e sufficiente affinché una serie sia assolutamente convergente, è che siano convergenti le due serie formate rispettivamente dai termini positivi e dai termini negativi.
Se una serie convergente non è assolutamente convergente, allora le serie composte dai termini positivi e dai termini negativi sono divergenti.

5) Operazioni con le serie convergenti

Teorema 5.1 – Somma e differenza di due serie
Siano date due serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) convergenti e sia \(\alpha\) un numero reale. Allora sono convergenti anche le serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha x_{n}\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n} \pm y_{n})\) e si ha:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha x_{n}= \alpha \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n} \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n} \pm y_{n}) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n} \pm \sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n} \end{array} \]

Notiamo che in generale la convergenza della serie somma o differenza \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n} \pm y_{n})\) non implica la convergenza delle singole serie.

Esercizio 5.1
Dimostrare che la somma delle due seguenti serie

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1+n}{3^{n}}+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}- n}{3^{n}} \]

è convergente.

5.1) Prodotto di Cauchy di due serie

Definizione 5.1
Siano date due serie \(A=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) e \(B=\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\). Il prodotto di Cauchy delle due serie \(A,B\) è la serie \(C\) così definita:

\[ C = \sum\limits_{n=1}^{\infty}z_{n} \quad \text{dove } z_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}y_{n-k} \]

Vale il seguente teorema:

Teorema 5.1 – Cauchy
Se \(A=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) e \(B=\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) sono due serie assolutamente convergenti, allora anche la serie prodotto di Cauchy converge assolutamente con somma \(C=A \cdot B\), cioè

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}y_{n-k}\right)= \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\right) \cdot \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\right) \]

Esercizio 5.2
Calcolare il prodotto di Cauchy delle due serie seguenti:

\[ \begin{array}{l} A= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{3^{n-1}} \\ B= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}} \end{array} \]

Soluzione: \( \left[A\cdot B=\dfrac{9}{8}\right]\).

Più in generale vale il seguente teorema di Mertens:

Teorema 5.2 – Mertens
Siano \(A=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) una serie assolutamente convergente e \(B=\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) una serie convergente. Allora la serie prodotto di Cauchy converge con somma \(C=A \cdot B\).

Per una dimostrazione vedere il testo di Apostol ^[3].

Esercizio 5.3
Sia data la serie

\[ A= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} \]

Dimostrare che la serie converge, ma non assolutamente. Dimostrare che il prodotto di Cauchy della serie con se stessa è divergente.

Nota
Il prodotto di Cauchy di due serie divergenti non è sempre divergente, ma può in certi casi essere convergente.

Esercizio 5.4
Siano date le due serie seguenti

\[ \begin{array}{l} A= 1 – \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n} \\ B= 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(2^{n}+ \dfrac{1}{2^{n+1}}\right) \\ \end{array} \]

Dimostrare che le due serie sono divergenti e che il loro prodotto di Cauchy è convergente.

6) Riarrangiamento delle serie – Il teorema di Riemann

Studiamo ora la convergenza o divergenza delle serie nel caso in cui si cambia l’ordine dei termini della serie stessa. Definiamo in modo preciso il concetto di riarrangiamento dei termini una serie.

Definizione 6.1 – Riarrangiamento di una serie
Sia \(p(n)\) una permutazione (cioè una corrispondenza biunivoca) della successione degli interi positivi \((1,2,3,\cdots)\):

\[ \begin{array}{l} p: \mathbb{Z^{+}} \to \mathbb{Z^{+}} \end{array} \]

Poniamo \(y_{n}=x_{p(n)}\). La successione \(y_{n}\) contiene tutti i termini \(\{x_{n}\}\) in un ordine diverso e inoltre \(y_{n}=y_{m} \iff n=m\).
La serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) viene chiamata un riarrangiamento della serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\).

Esempio 6.1
Sia data la serie

\[ 1 – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} – \dfrac{1}{6}+ \cdots \]

Un esempio di riarrangiamento è dato dalla serie seguente

\[ 1 + \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} – \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{7}+ \cdots \]

Nel caso di serie con termini positivi vale il seguente teorema:

Teorema 6.1
Se una serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) con termini positivi è convergente, allora ogni altra serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) ottenuta cambiando l’ordine dei termini è anch’essa convergente alla stessa somma.
Se una serie con termini positivi è divergente, allora ogni altra serie ottenuta cambiando l’ordine dei termini è anch’essa divergente.

Dimostrazione
Consideriamo la serie iniziale e la serie con i termini riarrangiati:

\[ \begin{array}{l} S_{n}=x_{1}+ x_{2}+ \cdots + x_{n} \to S \\ T_{n}=y_{1}+ y_{2}+ \cdots + y_{n} \to T \\ \end{array} \]

Gli \(n\) termini \(\{y_{k},\ k=1,2,\cdots,n\}\) corrispondono ad un insieme di \(n\) termini della serie iniziale, con degli indici opportuni: \(\{x_{k_{1}},x_{k_{2}},\cdots,x_{k_{n}}\}\). Detto \(M\) il più grande degli indici \(k_{1},k_{2}, \cdots,k_{n}\), abbiamo

\[ \begin{array}{l} T_{n} \le S_{M} \le S \text{ e quindi } T \le S \end{array} \]

Scambiando i ruoli delle due serie otteniamo otteniamo la disuguaglianza opposta \(S \le T\) e quindi le due serie hanno la stessa somma.
Il teorema precedente vale più in generale anche per le serie assolutamente convergenti.

Teorema 6.2
Sia \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) una serie assolutamente convergente. Allora qualunque riarrangiamento della serie è assolutamente convergente e ha la stessa somma.

Nel caso di serie condizionatamente convergenti la situazione è completamente diversa. Vale infatti il seguente teorema, dimostrato da Riemann (1826-1866).

Teorema 6.3 – Riemann
Se una serie è condizionatamente convergente, allora preso un qualunque numero reale \(S\) è possibile riarrangiare i termini della serie in modo che la somma sia uguale a \(S\).
Inoltre è possibile riarrangiare i termini di una serie condizionatamente convergente in modo che la serie risultante sia divergente.

Per una dimostrazione vedere il testo di Apostol ^[3].

Una serie assolutamente convergente viene anche chiamata incondizionatamente convergente.

Esercizio 6.1
Consideriamo la serie alternante

\[ \begin{array}{l} 1 – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} – \cdots \end{array} \]

Per il criterio di Leibniz la serie converge condizionatamente alla somma \(S\). Riordiniamo i termini in modo che ogni termine positivo sia seguito da due termini negativi:

\[ \begin{array}{l} \underbrace{1 – \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}} + \underbrace{\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{6}- \dfrac{1}{8}} + \cdots + \underbrace{\dfrac{1}{2n-1} – \dfrac{1}{4n-2}- \dfrac{1}{4n}} + \cdots \end{array} \]

Indichiamo con \(S(n)\) la somma parziale della serie originaria, e con \(T(n)\) la somma parziale della serie riarrangiata. Calcoliamo il valore \(T(3n)\):

\[ \begin{array}{l} T(3n)= \underbrace{1 – \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{4}} + \underbrace{\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{6}- \dfrac{1}{8}} + \cdots + \underbrace{\dfrac{1}{2n-1} – \dfrac{1}{4n-2}- \dfrac{1}{4n}} \end{array} \]

Con semplici calcoli si ottiene la relazione

\[ T(3n) = \frac{1}{2}S_{2n} \quad \text{ e quindi } \lim_{n \to \infty} T(3n)= \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty}S_{2n}= \frac{S}{2} \]

Inoltre abbiamo

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to \infty}T(3n+1) = \lim\limits_{n \to \infty}\left(T(3n)+ \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{1}{2}S \\ \lim\limits_{n \to \infty}T(3n+2) = \lim\limits_{n \to \infty}\left(T(3n)+ \dfrac{1}{2n+1} -\dfrac{1}{4n+2}\right) = \dfrac{1}{2}S \\ \end{array} \]

Quindi abbiamo

\[ \lim\limits_{n \to \infty}T(n)= \frac{1}{2}S \]

La serie con i termini riarrangiati converge quindi ad un valore uguale alla metà della somma della serie originaria.

7) Serie doppie

Definizione 7.1 – Successione doppia di numeri reali
Una successione doppia di numeri reali \(F(m,n)\) è una funzione di due variabili

\[ F: \mathbb{Z^{+}} \times \mathbb{Z^{+}} \to \mathbb{R} \]

Per semplicità possiamo indicare il termine \(F(m,n)\) con i simbolo \(a_{mn}\).

Definizione 7.2 – Limite di una successione doppia
La successione doppia \(a_{mn}\) tende al limite \(L\) se per ogni \(\epsilon \gt 0 \) esiste un indice \(M\) tale che

\[ |a_{mn} – L | \lt \epsilon \ ,\quad m,n \gt M \]

In questo caso si scrive \(\lim\limits_{m,n \to \infty}a_{mn}=L\). Il valore \(L\) si chiama anche limite doppio della successione.
Osserviamo che nella definizione i due indici devono crescere in modo indipendente l’uno dall’altro.

Teorema 7.1
Supponiamo che esista il limite doppio \(L=\lim\limits_{m,n \to \infty}a_{mn}\). Supponiamo inoltre che per ogni fissato \(n\) esista il limite della successione \(\lim\limits_{m \to \infty}a_{mn}\). Allora esiste anche il seguente limite, chiamato limite iterato, che ha lo stesso valore:

\[ \lim\limits_{n \to \infty} (\lim\limits_{m \to \infty}a_{mn})= L \]

Lo stesso teorema chiaramente vale scambiano i ruoli dei due indici \(n,m\).

È importante distinguere i due concetti, di limite doppio e limiti iterati, in quanto in generale questi tre limiti possono essere diversi.

Esercizio 7.1
Data la successione \(a_{mn}= \dfrac{mn}{m^{2}+ n^{2}}\), dimostrare che

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{m \to \infty}( \lim\limits_{n \to \infty}a_{mn})= 0 \\ \lim\limits_{n \to \infty}( \lim\limits_{m \to \infty}a_{mn})= 0 \\ \end{array} \]

Dimostrare inoltre che il limite doppio \(\lim\limits_{m,n \to \infty}a_{mn}\) non esiste.

Per le successioni doppie si può estendere il criterio di convergenza di Cauchy:

Teorema 7.2 – Cauchy
Sia \(a_{mn}\) una successione doppia di numeri reali. La successione converge se e solo se per ogni \(\epsilon \gt 0\) esiste un intero positivo \(M\) tale che

\[ |a_{m_{1}n_{1}} – a_{m_{2}n_{2}}| \lt \epsilon \ ,\quad m_{1},n_{1},m_{2},n_{2} \gt M \]

Esercizio 7.2
Dimostrare, mediante il criterio di Cauchy, che la seguente successione doppia è convergente:

\[ a_{mn}= \frac{1}{m}+ \frac{1}{n} \]

Definizione 7.3 – Serie doppia di numeri reali
Una serie doppia è un’espressione del tipo

\[ \sum\limits_{m=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{mn} \]

dove i termini \(a_{mn}\) sono numeri reali. Per studiare la convergenza della serie doppia consideriamo la somma parziale

\[ S_{mn} = \sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{k=1}^{n} a_{ik} \]

Possiamo rappresentare una serie doppia \(a_{mn}\) mediante la seguente matrice infinita:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & \cdots \\ \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & \cdots \\ \vdots \end{pmatrix} \]

Il primo indice si riferisce alla riga, il secondo alla colonna della matrice. La somma parziale \(S_{mn}\) equivale a sommare gli elementi delle prime \(m\) righe e delle prime \(n\) colonne della matrice.

Definizione 7.4
La serie doppia \(\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{mn}\) si dice convergente al numero \(S\) se la successione doppia \(S_{mn}\) converge a \(S\), cioè se per ogni \(\epsilon \gt 0\) esiste un \(M \gt 0\) tale che:

\[ |S_{mn} – S | \lt \epsilon \ ,\quad m,n \gt M \]

In questo caso si scrive

\[ S = \sum\limits_{m=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{mn} \]

La serie si dice assolutamente convergente se è convergente la serie doppia dei valori assoluti \(\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{mn}|\).

Esercizio 7.3
Dimostrare, mediante il criterio di Cauchy, che una serie doppia assolutamente convergente è convergente.

Teorema 7.3
Sia data una serie doppia \(S=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{mn}\) assolutamente convergente. Supponiamo di riarrangiare i termini in maniera arbitraria, indicando i termini con la notazione \(b_{1},b_{2},b_{2}, \cdots \). Allora la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}\) è assolutamente convergente alla stessa somma.

Serie doppie iterate
Si chiama serie iterata la serie calcolata facendo tendere all’infinito prima un indice e poi l’altro. Quindi le due serie iterate sono le seguenti:

\[ S_{1}=\sum\limits_{m=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{mn}\right) \ ,\quad S_{2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{m=1}^{\infty} a_{mn}\right) \]

Vale il seguente teorema:

Teorema 7.4
Se una serie doppia \(\sum\limits_{n,m} a_{mn}\) converge assolutamente, allora anche le due serie iterate convergono assolutamente, e si ha

\[ S = \sum\limits_{m=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{mn} = \sum\limits_{m=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{mn}\right) =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{m=1}^{\infty} a_{mn}\right) \]

È importante anche il seguente teorema:

Teorema 7.5
Siano \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) e\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}\) due serie assolutamente convergenti. Prendiamo tutti i possibili prodotti \(x_{i} \cdot x_{k}: i,k = 1,2,3,\cdots\) e indichiamoli con una nuova indicizzazione con il simbolo \(w_{n}\). Allora vale la seguente relazione:

\[ \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_{i} \cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty} y_{k} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} w_{n} \]

EserciziO 7.4
Dimostrare che la seguente serie doppia

\[ \sum\limits_{m=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(m+n)^{p}} \]

converge se \(p \gt 2\) e diverge se \(p \le 2\).

8) Successioni e serie di numeri complessi

Per un ripasso dei numeri complessi vedere articolo su questo sito.

8.1) Successioni di numeri complessi

Definizione 8.1 – Successione di numeri complessi
Una successione \(z_{n}\) di numeri complessi è una funzione il cui dominio è l’insieme degli interi non negativi e il codominio è l’insieme dei numeri complessi. Indichiamo la successioni con il simbolo \(\{z_{n}, n=1,2,3,\cdots \}\).
Una successione di numeri complessi \(z_{n}\) ha limite \(z\), se per ogni fissato numero reale \(\epsilon \gt 0\) esiste un intero positivo \(n_{\epsilon}\) tale che

\[ |z_{n}-z| \lt \epsilon \ ,\quad \text{ se } n \gt n_{\epsilon} \]

Ricordiamo che se \(z=x+iy\), allora il modulo del numero complesso è \(|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\).
Se il limite esiste la successione si dice convergente, e si scrive \(\lim\limits_{n \to \infty}z_{n}=z\). Se il limite non esiste la successione si dice divergente.
Dal punto di vista geometrico una successione di numeri complessi è un insieme di punti del piano complesso. Se la successione è convergente ad un punto \(z\), significa che, fissato un cerchio qualsiasi di raggio \(\epsilon \gt 0\) con centro nel punto \(z\), tutti i termini della successione, tranne un numero finito, sono contenuti all’interno del cerchio.
Un semplice esempio di successione divergente è la seguente:

\[ \{i^{n},n=1,2,3,\cdots\} = \{i,-1,-i,+1,i,-1,\cdots\} \]

Esercizio 8.1
Dimostrare le seguenti proprietà della successione \(z^{n}\):

\[ \lim\limits_{n \to \infty}z^{n}= \begin{cases} 0 \quad \text{se } |z| \lt 1 \\ 1 \quad \text{se } z=1 \\ \text{divergente} \ ,\quad \text{altrimenti} \end{cases} \]

Esercizio 8.2
Supponiamo \( \lim\limits_{n \to \infty} z_{n}= z \) e \(\lim\limits_{n \to \infty} w_{n}= w\). Sia \(a\) un numero complesso qualsiasi.
Dimostrare le seguenti proprietà delle successioni a valori complessi, simili a quelle delle successioni a valori reali:

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to \infty} a \cdot z_{n}= a \cdot \lim\limits_{n \to \infty} z_{n} = a\cdot z \\ \lim\limits_{n \to \infty} (z_{n} \pm w_{n}) = z \pm w \\ \lim\limits_{n \to \infty} (z_{n} \cdot w_{n}) = z \cdot w \\ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{z_{n}}{w_{n}}= \dfrac{z}{w} \quad w \neq 0 \\ \end{array} \]

8.2) Serie di numeri complessi

Definizione 8.2
Una serie di numeri complessi è una espressione

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}z_{n}=z_{1}+ z_{2}+z_{3} + \cdots \]

dove i termini \(z_{n}\) sono numeri complessi.
La somma parziale di ordine \(n\) della serie è

\[ S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}z_{k} \]

La serie si dice convergente con somma \(S\) se esiste li limite \(\lim\limits_{n \to \infty}S_{n}=S\). Altrimenti si dice divergente.
Si dice assolutamente convergente se converge la serie di numeri reali \(\sum\limits_{n \to \infty}|z_{n}|\). Se la serie è convergente ma non assolutamente convergente, allora si dice condizionatamente convergente.

Esercizio 8.3
Dimostrare che la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-i)^{n}}{n^{2}}\) converge assolutamente.

Esempio 8.1 – Serie geometrica

\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} z^{n} = \frac{1}{1-z} \ ,\quad |z| \lt 1 \]

Se invece \(|z| \ge 1\) allora la serie geometrica diverge.

Il teorema seguente permette di ridurre lo studio di una serie di numeri complessi allo studio di due serie di numeri reali.

Teorema 8.1
Se \(z_{n}=x_{n}+iy_{n}\), con \(x_{n},y_{n}\) numeri reali, allora

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty}z_{n}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n} +i \sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n} \end{array} \]

Esercizio 8.4
Dimostrare le seguenti proprietà delle serie complesse, simili a quelle delle serie reali:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty} z_{n} \text{ converge } \implies \lim\limits_{n \to \infty} z_{n} = 0 \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} z_{n} \text{ converge } \implies \text{esiste } M: |z_{n}| \lt M \text{ per ogni n} \\ \end{array} \]

Esercizio 8.5
Supponiamo che le due serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} z_{n}\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} w_{n}\) convergano. Allora

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a z_{n}+ b w_{n})= a \sum\limits_{n=1}^{\infty}z_{n}+ b \sum\limits_{n=1}^{\infty} w_{n} \end{array} \]

dove \(a,b\) sono numeri complessi qualsiasi.
Anche per le serie di numeri complessi valgono criteri di convergenza simili a quelle delle serie di numeri reali: confronto, rapporto, d’Alembert.

Esercizio 8.6
Dimostrare che la serie seguente è convergente

\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(1+3i)^{n}}{5^{n}} \]

Soluzione: \(\left[\dfrac{5}{4-3i}\right]\)

Esercizio 8.7
Dimostrare che la serie seguente è convergente

\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left( \cos \frac{n \pi}{5}+ i \sin \frac{n \pi}{5}\right) \]

Nel caso complesso il teorema di Riemann non si estende senza delle modifiche. Per approfondire questo problema vedere il testo di Remmert ^[5].
Anche ai numeri complessi si possono estendere le definizioni di successioni doppie e di serie doppie.

9) Metodi di sommazione per le serie divergenti

Riportiamo la famosa citazione del matematico norvegese Abel ,contenuta in una sua lettera del 1826:

“Les séries divergentes sont, en général, quelque chose de bien fatal, et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration. On peut démontrer tout ce qu’on veut en les employant, et ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et qui ont enfanté tant de paradoxes.”

Niels Henrik Abel (1802-1829)

La definizione rigorosa della convergenza e divergenza delle serie è stata formulata nel secolo XIX dai fondatori dell’analisi matematica: Cauchy, Abel, Weierstrass, Riemann. Come conseguenza lo studio delle serie divergenti è stato messo in secondo piano.
In precedenza i matematici, come Newton, Leibniz ed Eulero, basavano le loro affermazioni relative alla convergenza o divergenza delle serie su metodi intuitivi e non rigorosi. Eulero, uno dei più grandi matematici della storia, era consapevole del differente comportamento delle serie convergenti e divergenti, anche se ancora mancava una definizione precisa.
Tuttavia Eulero fu il primo a trattare le serie divergenti in modo sistematico. Egli credeva che ad ogni serie si dovesse assegnare un numero, chiamato la somma della serie. Il valore della somma doveva essere indipendente dal metodo utilizzato.
In una prima fase l’approccio di Eulero è stato criticato da molti matematici, in quanto trattando le serie divergenti come se fossero convergenti portava spesso a delle contraddizioni.
Tuttavia in seguito le sue idee sono state rivalutate e la comunità dei matematici ha compreso la necessità e utilità di sviluppare una teoria delle serie divergenti.

Esempio 9.1
Come esempio del tipo di ragionamento seguito da Eulero consideriamo la serie seguente, chiamata serie di Grandi:

\[ 1-1+1-1+1-1+ \cdots \]

Il metodo di Eulero considera una serie di funzioni da cui deriva la serie numerica precedente. In questo caso usa la seguente funzione:

\[ \lim_{x \to 1} 1 – \lim_{x \to 1} x + \lim_{x \to 1} x^{2} – \lim_{x \to 1} x^{3} + \cdots \]

Quindi effettua il seguente passaggio:

\[ \lim\limits_{x \to 1} (1- x + x^{2} – x^{3} + \cdots ) \]

Utilizzando la formula della serie geometrica

\[ \frac{1}{1+x}= 1-x + x^{2} – x^{3} + \cdots \]

Eulero attribuisce alla serie iniziale la somma \(\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\).

Esercizio 9.1
Con un ragionamento simile dimostrare che alla serie

\[ 1-2+3 -4 +5 -6 + \cdots + (-1)^{n}(n+1) + \cdots \]

si può assegnare la somma uguale a \(\dfrac{1}{4}\).

Suggerimento
Utilizzare lo sviluppo di Taylor della funzione \(\dfrac{1}{(1+x)^{2}}\).

9.1) Criteri di coerenza da rispettare

La definizione di una procedura per assegnare una somma alle serie divergenti non può essere arbitraria, altrimenti si avranno delle inconsistenze e contraddizioni. In particolare qualunque definizione di somma di una serie divergente dovrebbe essere una generalizzazione di quella della somma di una serie convergente.
Quindi devono essere rispettate alcune regole di coerenza.

• Regolarità: un metodo di sommazione si dice regolare se fornisce la risposta corretta quando viene applicato ad una serie convergente, cioè coincide con il limite della successione delle somme parziali.
• Linearità: se \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}=A\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}y_{n}=B\), allora \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(x_{n}+ y_{n})=A+B\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}cx_{n}=cA\), con \(c\) numero reale qualsiasi.
• Stabilità: se \(A=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\) allora \(B=\sum\limits_{n=2}^{\infty}x_{n}=A – x_{1}\).

Sono stati definiti diversi metodi di sommazione, tra i quali i più importanti sono quelli Cesaro, Holder, Abel ed Eulero. In questo articolo descriveremo il metodo di Cesaro e il metodo di Abel.

9.2) Metodo di Cesaro

Indichiamo con \(s_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}\) la somma parziale di ordine \(n\) della serie infinita \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_{n}\). Indichiamo con \(\sigma_{n}\) la successione delle medie aritmetiche delle somme parziali:

\[ \begin{array}{l} \sigma_{n}= \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}s_{k} \end{array} \]

Se esiste \(\lim\limits_{n\to \infty}\sigma_{n}=S\), allora diciamo che la serie è sommabile secondo Cesaro e scriviamo

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n\to \infty}\sigma_{n}=S \implies \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}=S \quad (C,1) \end{array} \]

Esercizio 9.2
Dimostrare che la serie di Grandi è sommabile secondo Cesaro e vale la formula

\[ \begin{array}{l} 1-1 +1 -1 +1 -1 + \cdots = \dfrac{1}{2} \quad (C,1) \\ \end{array} \]

Esempio 9.2 – Serie di Lagrange
Dato \(1 \lt m \lt n\) dimostrare

\[ \begin{array}{l} 1+0 + 0 + \cdots -1 +0 +0 + \cdots +1 +0+ \cdots = \dfrac{m}{n} \quad (C,1) \end{array} \]

Nella serie abbiamo \(x_{1}=1,x_{m+1}=-1\) e i termini si ripetono con periodo uguale ad \(n\).

Esercizio 9.3
Dimostrare che la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}n\) non è sommabile secondo Cesaro.

Vale il seguente teorema:

Teorema 9.1
Se una serie è convergente con somma \(S\), allora è sommabile anche secondo Cesaro con la stessa somma.

Dal teorema precedente segue che il metodo di Cesaro è regolare. Si può dimostrare che è anche stabile e lineare.

Teorema 9.2

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}=S \quad (C,1) \iff \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n}\left(1 – \dfrac{k-1}{n}\right)x_{k}=S \end{array} \]

Suggerimento
Per la dimostrazione osservare che

\[ \begin{array}{l} \sigma_{n}= \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}s_{k} = \sum\limits_{k=1}^{n}\left( 1- \dfrac{k-1}{n}\right)x_{k} \end{array} \]

Generalizzazione del metodo di Cesaro
Il metodo di Cesaro si può generalizzare nel modo seguente. Sia data la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}\). Indichiamo con \((\sigma^{(2)}_{n})\) la successione delle medie aritmetiche delle somme di Cesaro di ordine \(1\):

\[ \begin{array}{l} \sigma^{(2)}_{n}= \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\sigma_{k} \end{array} \]

Se esiste \(\lim\limits_{n\to \infty}\sigma^{(2)}_{n}=S\), allora diciamo che la serie è sommabile secondo Cesaro \((C,2)\), e scriviamo

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n\to \infty}\sigma^{(2)}_{n}=S \implies \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_{n}=S \quad (C,2) \end{array} \]

9.3) Metodo di Abel

Il metodo di Abel è basato sul seguente teorema:

Teorema 9.3 – Abel
Sia \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}=S\) una serie convergente con somma \(S\). Definiamo la funzione

\[ \begin{array}{l} F(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n} \ ,\quad |x| \lt 1 \end{array} \]

Allora

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 1-}F(x) = S \end{array} \]

Per una dimostrazione vedere il testo di Apostol.
Il teorema di Abel permette assegnare una somma ad alcune serie divergenti. Anche questo metodo è regolare, nel senso che il valore assegnato coincide con la somma ordinaria, nel caso di serie convergenti.

Esercizio 9.4
Dimostrare che la serie di Grandi ha la seguente somma di Abel:

\[ \begin{array}{l} 1-1 +1 -1 +1 -1 + \cdots =\lim\limits_{x \to 1-} \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1}{2} \quad (Abel) \\ \end{array} \]

Esercizio 9.5

\[ \begin{array}{l} 1-2 +3 -4 +5 -6 + \cdots = \dfrac{1}{4} \quad (Abel) \\ \end{array} \]

Suggerimento: utilizzare lo sviluppo della funzione \(f(x)= \dfrac{x}{(1+x)^{2}}\).

Il teorema seguente chiarisce il legame fra il metodo di Cesaro e quello di Abel:

Teorema 9.4
Se una serie è sommabile secondo Cesaro, allora è sommabile anche secondo Abel.
Non vale il viceversa.

9.4) Esempio Eulero-Goldbach

Concludiamo questo paragrafo riportando un utilizzo non rigoroso delle serie divergenti, che tuttavia in alcuni casi porta a risultati corretti.
Abbiamo già visto che la serie seguente è convergente ad \(1\):

\[ \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4}+ \cdots = 1 \]

Bernoulli parte dalla serie armonica, che come sappiamo è divergente, e scrive:

\[ H = 1+ \frac{1}{ 2}+ \frac{1}{ 3}+ \frac{1}{ 4}+ \cdots \\ H -1 = \frac{1}{ 2}+ \frac{1}{ 3}+ \frac{1}{ 4}+ \cdots \\ \]

Quindi sottrae la seconda espressione dalla prima ottenendo

\[ \begin{array}{l} 1 = \left(1- \dfrac{1}{ 2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4}- \dfrac{1}{5}\right)+ \cdots = \\ \dfrac{1}{1 \cdot 2}+ \dfrac{1}{2 \cdot 3}+ \dfrac{1}{3 \cdot 4}+ \cdots \end{array} \]

Quindi utilizzando il metodo del telescoping sulla prima rappresentazione, cioè cancellando di termini adiacienti che hanno valori opposti, deduce che

\[ \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4}+ \cdots = 1 \]

In questo caso l’utilizzo non corretto delle serie divergenti ha prodotto un risultato esatto. Tuttavia in altri casi porta a delle contraddizioni.
Bernoulli ed Eulero erano consapevoli della non rigorosità del procedimento e consigliavano di procedere con attenzione (“non sine cautela“).
Per approfondire lo studio delle serie numeriche vedere anche i testi ^[1] e ^[4].

10) Esercizi proposti

Esercizio 10.1
Dimostrare che la serie

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n (\ln n)^{\alpha}} \end{array} \]

è divergente se \(\alpha \le 1\) e convergente se \(\alpha \gt 1\).
Suggerimento: applicare il test di condensazione di Cauchy.

Esercizio 10.2

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\ln \left(1+ \frac{1}{n}\right)= \ln \frac{\pi}{2} \]

Suggerimento: utilizzare la formula di Wallis

\[ \frac{\pi}{2}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{2n+1}\left( \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^{2}= \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot \frac{6\cdot6}{5\cdot 7}\cdots \]

dove il simbolo di doppio fattoriale è così definito:

\[ n !! = \begin{cases} 1 \quad \text{se } n = 0 \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots n \ ,\quad n \text{ pari}\\ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots n \ ,\quad n \text{ dispari} \end{cases} \]

Esercizio 10.3
Dimostrare che la serie seguente è convergente:

\[ S= \frac{1}{2^{1}-1}+ \frac{1}{2^{2}-2}+ \frac{1}{2^{3}-1}+ \cdots + \frac{1}{2^{n}-n}+ \cdots \]

Esercizio 10.4

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3\cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n+1)}= \frac{1}{2} \]

Esercizio 10.5
Dimostrare che la serie seguente è convergente:

\[ \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{3 \cdot 4}+ \frac{1}{5 \cdot 6}+ \cdots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}+ \cdots \]

Suggerimento: confrontare con la serie di Dirichlet di ordine \(2\).

Esercizio 10.6
Studiare la convergenza della differenza fra le seguenti due serie divergenti: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n-1}\) e \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n}\).

Soluzione: la serie differenza è convergente.

Esercizio 10.7
Dimostrare che se la serie \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x_{n}}{n}\) converge, allora

\[ \begin{array}{l} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{x_{1}+ x_{2}+ \cdots +x_{n}}{n}=0 \end{array} \]

Esercizio 10.8
Indichiamo con \(\{x\}\) la parte frazionaria di \(x\), cioè \(\{x\}= x – \lfloor x \rfloor\), dove \(\lfloor x \rfloor\) è la parte intera. Dimostrare che

\[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \{(1+\sqrt{2})^{2n-1}\}= \dfrac{1}{2} \]

Suggerimento
Utilizzare la formula seguente

\[ \{(1+ \sqrt{2})^{2n-1}\} = (\sqrt{2} -1)^{2n-1} \]

Esercizio 10.9 – Serie telescopica
Dimostrare la seguente formula:

\[ \frac{1}{1 \cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 5}+ \frac{1}{5 \cdot 7}+ \cdots = \frac{1}{2} \]

Esercizio 10.10
Dimostrare che le due serie seguenti sono divergenti:

\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{1/n}-1) \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+ \dfrac{1}{n }\right) \end{array} \]

Suggerimento: utilizzare gli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni \(f(x)= e^{x}\) e \(g(x)=\ln(1+x)\).

Esercizio 10.11
Dimostrare che la serie seguente è divergente:

\[ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3}+ \frac{3}{4}+ \cdots + \frac{n}{n+1}+ \cdots \]

Suggerimento
Analizzare il rapporto \(\left(\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}\right)\).

Esercizio 10.12
Se \(a \gt 0\) e \(b \gt a+1\) allora

\[ 1+ \frac{a}{b}+ \frac{a(a+1)}{b(b+1)}+ \frac{a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)}+ \cdots = \frac{b-1}{b-a-1} \]

Dimostrare anche che

\[ \frac{a}{b}+ 2\frac{a(a+1)}{b(b+1)}+ 3\frac{a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)}+ \cdots = \frac{a(b-1)}{(b-a-1)(b-a-2)} \]

se \(a \gt 0\) e \(b \gt a+2\).

Esercizio 10.13
Consideriamo la serie seguente

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{t^{n}n!}{n^{n}} \]

dove \(t\) è un parametro reale maggiore di zero.

Suggerimento
Dimostrare che \(\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=\dfrac{t}{e}\), dove \(e \approx 2,718\) è la costante di Eulero. Quindi applicare il criterio del rapporto. Studiare separatamente il caso \(t=e\), dimostrando che in questo caso la serie è divergente.

Esercizio 10.14
Consideriamo la serie geometrica \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n}\), con \(z\) numero complesso. Come nel caso reale la serie converge se \(|z| \lt 1\), cioè

\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n}= \frac{1}{1-z} \quad \text{se } |z| \lt 1 \]

Non converge se \(|z| \ge 1\).
Dimostrare che se \(|z|=1\) e \(z \neq 1\) allora applicando il metodo di Cesaro si ha

\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n}= \frac{1}{1-z} \quad (C,1) \]

In particolare, se \(z=-1\), abbiamo nuovamente il risultato dimostrato in precedenza. Cioè

\[ 1-1+1-1+1-1+ \cdots = \frac{1}{2} \quad (C,1) \]

Esercizio 10.15

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{p}} = \begin{cases} p \gt 1 \implies \text{convergente} \\ p \le 1 \implies \text{divergente} \end{cases} \]

Suggerimento: utilizzare il test di condensazione di Cauchy.

Esercizio 10.16
Dimostrare che la seguente serie è divergente

\[ 1 + \frac{1}{2}- \frac{1}{3} +\frac{1}{4}+ \frac{1}{5} -\frac{1}{6}+ \frac{1}{7} +\frac{1}{8}- \frac{1}{9} \cdots \]

Esercizio 10.17
Dimostrare che la seguente serie è divergente

\[ 1 – \frac{1}{2}+ \frac{1}{3^{2}} -\frac{1}{4}+ \frac{1}{5^{2}} -\frac{1}{6}+ \frac{1}{7^{2}} – \cdots \]

Suggerimento
Studiare separatamente le due serie formate rispettivamente dai termini positivi e negativi.

Esercizio 10.18
Supponiamo \(z=Re^{i \theta}\) con \(0 \lt R| \lt 1\). Dimostrare le seguenti formule:

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}R^{n}\cos n \theta = \frac{R \cos \theta – R^{2}}{1-2R\cos \theta + R^{2}} \\ \sum\limits_{n=1}^{\infty}R^{n}\sin n \theta = \frac{R \sin \theta}{1-2R\cos \theta + R^{2}} \]

Suggerimento
Calcolare la somma della serie geometrica \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n}\).

Esercizio 10.19
Consideriamo la serie seguente convergente condizionatamente:

\[ S = 1 -\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+ \cdots = \ln 2 \]

Dimostrare che la serie ottenuta dalla serie precedente riarrangiando i termini nel seguente modo:

\[ 1 +\frac{1}{3}- \frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+ \frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6} + \cdots \]

converge al valore \(\dfrac{3}{2}\ln 2\).

Conclusione

La teoria delle serie numeriche è uno strumento fondamentale in molte branche della matematica pura e applicata.
Dopo aver esposto la teoria delle serie di numeri reali e complessi, in un articolo successivo studieremo le successioni e serie di funzioni di variabile reale e di variabile complessa. In particolare studieremo le serie di Taylor, che vengono utilizzate ad esempio per approssimare i valori delle funzioni, con il grado di precisione desiderato.

Bibliografia

^[1]K. Knopp – Infinite Sequences and Series (Dover Books on Mathematics)

^[2]W. Dunham – Journey through Genius (Penguin Publishing Group)

^[3]T. Apostol – Mathematical Analysis (Pearson)

^[4]Ludmila Bourchtein, Andrei Bourchtein – Theory of Infinite Sequences and Series (Birkhäuser)

^[5]R. Remmert – Theory of Complex Functions (Springer)