Consideriamo una regione limitata dello spazio euclideo a \(n\) dimensioni \(\mathbb{R}^{n}=\{(x_{1},x_{2}, \cdots,x_{n}): x_{k} \in \mathbb{R}\}\). La geometria dei numeri studia i punti con coordinate cartesiane intere che sono contenuti nella regione. Ad esempio nello spazio \(\mathbb{R}^{3}\) si contano i punti \((x,y,z)\) a coordinate intere contenuti in una sfera di raggio Leggi tutto…
La matematica consiste in due principali categorie di attività: dimostrazione di teoremi e soluzione di problemi. In entrambe queste attività i matematici giustificano le loro conclusioni tramite il ragionamento deduttivo, basato sulle leggi della logica. Ad esempio la dimostrazione di un teorema è una successione di deduzioni logiche, a partire Leggi tutto…
In questo articolo studieremo il problema di determinare se un numero naturale è primo oppure composto. Un numero primo è un numero naturale maggiore di \(1\) che ha come soli divisori il numero \(1\) e se stesso. In alcuni casi si può escludere subito la primalità di un numero naturale. Leggi tutto…
La teoria della probabilità, nata soprattutto per esigenze dovute ai giochi d’azzardo, è diventata una disciplina matematica fondamentale in molti settori della scienza e della tecnologia: fisica, biologia, ingegneria, scienze sociali, ecc. “Il concetto di probabilità è il più importante della scienza moderna, soprattutto perché nessuno ha la più pallida Leggi tutto…
In questo articolo studiamo il principio di induzione matematica, uno strumento potente utilizzato per risolvere problemi e dimostrare teoremi. L’idea fondamentale sulla quale si basa questo metodo è la ricorsione, un procedimento che permette di ridurre la risoluzione di un problema o la dimostrazione di un teorema ad un problema Leggi tutto…
La trigonometria può essere considerata come una branca della geometria. La parola “geometria” deriva dal greco, come unione delle due parole “geo” (terra) e “metron” (misura). Riguarda lo studio delle proprietà e delle relazioni dei punti, delle linee, degli angoli, delle superfici piane e dei solidi. Gli ‘Elementi’ di Euclide Leggi tutto…
Il problema di calcolare la somma di potenze di interi positivi è stato studiato fin dall’antichità, in particolare dai matematici greci e da Archimede. Nel corso dei secoli sono state trovate diverse formule, da Fermat, Pascal, Bernoulli e altri. In questo articolo descriviamo la soluzione di Pascal e la formula Leggi tutto…
Nella prima parte di questo articolo studieremo le successioni di numeri reali. Introdurremo il concetto di limite, che è la base del calcolo differenziale e integrale. Nella seconda parte analizzeremo anche le successioni di numeri complessi. Al fine di assimilare questi concetti, per nulla banali, vengono proposti diversi esercizi e Leggi tutto…
In un articolo precedente abbiamo studiato le congetture di Legendre e Gauss per descrivere il comportamento asintotico della funzione \(\pi(x)\), che conta il numero dei primi che non superano \(x\). In particolare ricordiamo la congettura di Gauss, che con notazione moderna è la seguente: \[ \pi(x) \sim \int_{2}^{x}\frac{dt}{\ln t} \sim Leggi tutto…
I principali insiemi numerici utilizzati in matematica sono i seguenti: \(\mathbb{N} =\{0,1,2,3,\cdots\} \quad \text{ (numeri naturali o interi non negativi)}\) \(\mathbb{Z} =\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\} \quad\text{(numeri interi)} \) \(\mathbb{Q} =\left \{\dfrac{n}{m}, \text{con } n,m\in \mathbb{Z}, m\neq 0\right\} \quad \text{(numeri razionali)}\) \(\mathbb{R} =\text{(numeri reali)}\) \(\mathbb{C} =\text{(numeri complessi)}\) Indicheremo con \(\mathbb{Z}^{+}=\{1,2,3,\cdots\}\) l’insieme degli interi positivi. Leggi tutto…