Il numero \( \pi \) occupa un ruolo centrale nella Matematica da oltre 2500 anni. Il suo valore è approssimativamente uguale a 3,14. Nella geometria euclidea è definito come il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il diametro di un cerchio. Come è noto nella geometria euclidea tale rapporto Leggi tutto…
La geometria dei numeri è una branca della Teoria dei numeri che studia i problemi aritmetici utilizzando strumenti di natura geometrica. In questo articolo introduciamo l’argomento studiando il teorema di Pick per il calcolo delle aree di figure piane e le proprietà delle rette del piano che attraversano il reticolo Leggi tutto…
In questo breve articolo presenteremo alcuni problemi relativi alla determinazione dei punti a coordinate intere contenuti all’interno o sulla frontiera di alcune figure piane. Questo tipo di problema presenta aspetti molto interessanti e trova importanti applicazioni in vari settori della matematica. 1) Il reticolo piano degli interi Un punto del Leggi tutto…
La legge di reciprocità quadratica ha un ruolo centrale nella teoria dei numeri. Venne inizialmente formulata da Eulero mentre studiava le proprietà dei numeri primi della forma \(x^{2}+ ny^{2}\). Anche Legendre diede importanti contributi. Il teorema venne dimostrato in modo completo per la prima volta da Gauss nel 1796. La fonte principale per Leggi tutto…
Esercizio 1 Dimostrare che \[ \sum_{k=1}^{100}k! \equiv 0 \pmod {11} \] SoluzionePer trovare il resto della somma divisa per \(11\) bisogna trovare il resto della divisione per la somma dei primi \(10\) termini, in quanto dall’undicesimo in poi tutti sono divisibili per \(11\). Possiamo scomporre la somma dei primi \(10\) Leggi tutto…
Dopo aver introdotto le funzioni generatrici ordinarie in un precedente articolo (link), studiamo ora le proprietà delle funzioni generatrici esponenziali e presentiamo alcune applicazioni importanti. 1) Le funzioni generatrici esponenziali Definizione 1.1Data una successione di numeri reali \(\{a_{0},a_{1},a_{2}, \cdots \}\), si chiama funzione generatrice esponenziale (EGF – exponential generating function) Leggi tutto…
Esercizio 1 I numeri di Fermat sono così definiti: \(F_{n}=2^{2^{n}}+1\). Dimostrare che tutti i numeri di Fermat con \( n>1\) hanno l’ultima cifra uguale a \(7\). SuggerimentoIl numero \(2^{2^{2}}=16\) termina con la cifra \(6\). Lo stesso vale quindi per i numeri \(2^{2^{n}}\) con \(n > 2\). Per le proprietà dei Leggi tutto…
Il matematico francese Bertrand (1822-1900) formulò la congettura che per ogni intero positivo \(n\) esiste sempre almeno un numero primo \(p\) tale che: \(n < p \le 2n\). Questa congettura venne dimostrata dal matematico russo Chebyshev (1821- 1894). In questo articolo illustreremo il metodo di dimostrazione proposto dal matematico ungherese Leggi tutto…
Esercizio 1 Sia \(x_{1}=2\) e \(x_{n+1}= x_{n}^{2} – x_{n}+1\). Dimostrare che i numeri \(x_{n}\) sono primi fra loro. SoluzioneI valori della successione si ottengono iterando il polinomio \(P(x)=x^{2}-x+1\). Ragionando per induzione si può vedere facilmente che dato \(m <n\) risulta la seguente relazione: \[ x_{n}= x_{m}Q(x_{m}) +1 \] dove \(Q(x)\) Leggi tutto…
1) Funzioni generatrici ordinarie di una variabile Le funzioni generatrici sono uno strumento importante per risolvere problemi combinatoriali di vario tipo. Un problema tipico è il calcolo del numero di oggetti in funzione della dimensione \(n\), che possiamo indicare con \(a_{n}\). Per ogni valore di \(n\) intero non negativo abbiamo Leggi tutto…