Problema 1 Sia dato un reticolo quadrato di dimensioni \(n \times n\).Calcolare il numero \(R\) di rettangoli differenti, con i vertici nei punti del reticolo, che possono essere disegnati.Due rettangoli sono considerati diversi se hanno dimensioni diverse o sono in posizioni diverse. Problema 2 Sia dato un reticolo quadrato di Leggi tutto…
Problema 1 Calcolare il massimo numero di parti nelle quali un piano può essere diviso da \(n\) rette. Questo problema è equivalente al problema del massimo numero di parti di una pizza che è possibile fare effettuando n tagli. Problema 2 Calcolare il massimo numero di parti nelle quali un Leggi tutto…
Esercizio 1 Un quadrato e un triangolo hanno la stessa area. Quale dei due ha il perimetro maggiore? Può essere utile ricordare la seguente formula:Disuguaglianza fra media aritmetica e media geometricaSiano \(x_{1},x_{2}, \dots x_{n}\) numeri reali non negativi. Allora: \[ \dfrac {x_{1}+ x_{2} + \cdots x_{n}}{n} \ge \sqrt[n]{x_{1}x_{2} \cdots x_{n}} Leggi tutto…
1) L’Aritmetica Modulare di Gauss Dato un intero positivo \(m\), si dice che due interi \(a\) e \(b\) sono congruenti modulo \(m\) se danno lo stesso resto nella divisione per \(m\). Si usa la seguente notazione introdotta dal matematico tedesco Gauss: \[ a \equiv b \pmod{m} \] Ad esempio \(21 Leggi tutto…
Problema Sia data una permutazione \((a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{n})\) dell’insieme \({1,2, \cdots,n }\). Calcolare il valore medio, indicato con \(M_{n}\), della seguente somma: \[ (a_{1}- a_{2})^2 + (a_{2}-a_{3})^2 + \cdots + (a_{n-1} – a_{n})^2 \] presa su tutte le permutazioni. Nel caso \(n=2\) l’insieme delle permutazioni è \({12,21}\) e quindi \(M_{2}=1\). Leggi tutto…
Problema Ci sono quattro persone A,B,C,D. Una scatola con dentro una pallina rossa viene data ad A, il quale può lasciare le cose invariate con probabilità \(p\), oppure sostituire la pallina rossa con una bianca con probabilità \(q=1-p\). La scatola viene passata a B il quale può lasciare la scatola Leggi tutto…
Problema Siano dati n numeri \(x_{1},x_{2}, \cdots x_{n}\), nell’ordine prescritto. Calcolare il numero \(C_{n}\) dei possibili modi di posizionare le parentesi per moltiplicare il prodotto degli n numeri, senza modificare l’ordine dato. SuggerimentoSe \(n=2\) abbiamo un solo caso: \((x_{1} x_{2})\).se \(n=3\) abbiamo i seguenti casi: \(((x_{1} x_{2})x_{3}), (x_{1}(x_{2}x_{3}))\).Se \(n=4\) abbiamo Leggi tutto…
Problema Supponiamo di comporre dei numeri utilizzando soltanto le cifre dell’insieme \(\{1,2,3\}\).Calcolare il numero totale dei numeri di \(n\) cifre, indicato con \(Z_{n}\), tali che: hanno lunghezza n iniziano e terminano con la cifra 1 le cifre adiacenti sono sempre diverse tra loro Ad esempio se \(n = 4\), le Leggi tutto…
Problema Data la seguente matrice 5×5 di interi positivi: \[ \begin{pmatrix} d & 2d & 3d & ? & 5d \\ 11 & ? & ? & ? & ? \\ ? & 32 & ? & ? & ? \\ ? & ? & ? & ? & ? Leggi tutto…
Un numero primo è un intero maggiore di 1 che è divisibile solo da 1 e da se stesso. Un numero intero che non è primo si dice composto. Ogni intero maggiore di 1 è divisibile da almeno un numero primo. Lo studio dei numeri interi e delle loro proprietà Leggi tutto…